Ellisse

2·x^2 + y^2 = 4

verifico che passi per [1, √2]

2·1^2 + √2^2 = 4---> 4 = 4 OK!!

metto a sistema:

{2·x^2 + y^2 = 4

{y = √2·x retta OP

2·x^2 + (√2·x)^2 = 4---> x = -1 ∨ x = 1

Punti intersezione:

[-1, - √2]  e  [1, √2]

√((1 + 1)^2 + (√2 + √2)^2) = 2·√3

misura corda

calcolo tangente in P

{2·x^2 + y^2 = 4

{y - √2 = m·(x - 1)

risolvo:  y = m·x - m + √2

per sostituzione:

2·x^2 + (m·x - m + √2)^2 = 4

x^2·(m^2 + 2) + 2·m·x·(√2 - m) + (m^2 - 2·√2·m - 2) = 0

condizione tangenza:

Δ/4 = 0

(m·(√2 - m))^2 - (m^2 + 2)·(m^2 - 2·√2·m - 2) = 0

(m^4 - 2·√2·m^3 + 2·m^2) - (m^4 - 2·√2·m^3 - 4·√2·m - 4) = 0

2·m^2 + 4·√2·m + 4 = 0

2·(m + √2)^2 = 0

m = - √2

retta tangente:

y = (- √2)·x - (- √2) + √2

y = 2·√2 - √2·x

La retta ha equazione y = yP/xP x = rad(2) x.

Sostituendo nell' equazione dell' ellisse 

2x^2 + 2x^2 = 4

4x^2 = 4

x^2 = 1

xA = -1 e xB = 1

AB = |xB - xA| rad(1+m^2) = |1-(-1)| rad (1+2) =

= 2 rad(3).

La tangente ha equazione 

xo x/2 + yo y/4 = 1

x/2 +  y rad(2)/4 = 1

2x + y rad(2) = 4

y = 2 rad(2) - x rad(2)

avendo usato la formula dello sdoppiamento e diviso per rad(2).