[Risolto] Ellisse 1

La prima eq. va riportata in forma canonica dividendo per 25:

$x^2+\frac{y^2}{25}=1$

Pertanto $a^2=1$, $b^2=25$

I vertici sono $V_1=(0,5)$ e $V_2=(0,-5)$

 $c=\sqrt{b^2-a^2}=2\sqrt{6}$

Pertanto

$F_1=(0,-2\sqrt{6})$

$F_2=(0,2\sqrt{6})

L'eccentricità vale:

$e=c/b=2\sqrt{6}/5$

Per la B devi dividere per 16:

$x^2/16+9y^2/16=1$

E quindi $a^2=16$ e $b^2=16/9$

I vertici sono

$V_1=(-4,0)$ e $V_2=(4,0)$

Il parametro c vale

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{128/9}=8\sqrt{2}/3$

I fuochi sono

$F_1=(-8\sqrt{2}/3,0)$ e

$F_2=(8\sqrt{2}/3,0)$

L'eccentricità vale

$e=c/a=2\sqrt{2}/3$

Es.C

L'ellisse in questione è traslata solo lungo $x$, in quanto non è presente alcun termine del tipo $ky$. Quindi in maniera generica possiamo scrivere:
$\frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Moltiplicando per $a^2$ e sviluppando il quadrato si perviene a:
$a^2-2x_C x+x_C^2+\frac{a^2}{b^2}y^2=a^2$
Confrontando questa eq. con quella data dal problema si evince che:
$-2x_C x=-10x$ cioè $x_C=5$

Inoltre deve anche essere $25-a^2=15$, ovvero $a^2=10$ e $a^2/b^2=10$ quindi $b^2=1$.

Il centro ha perciò coordinate $C(5,0)$

Il parametro c vale $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9}=3$

I fuochi risultano inoltre traslati di 5 sulle x, quindi 

$F_1=(-c+5,0)=(2,0)$ e

$F_2=(c+5,0)=(8,0)$

I vertici risultano 

$V_1=(5-\sqrt{10},0)$

$V_2=(5+\sqrt{10},0)$

L'eccentricità risulta $e=c/a=3/\sqrt{10}$