Interpretando graficamente i seguenti sistemi, stabilisci il numero delle loro soluzioni. Se possibile, cerca di individuarle dal grafico oppure forniscine un'approssimazione. Verifica poi i risultati ottenuti a livello grafico risolvendo i sistemi algebricamente.
Ciao a tutti!
Qualcuno mi saprebbe dire come impostare questo esercizio ? N 73
Grazie mille a chi saprà aiutarmi!
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Livello 1
Vogliamo determinare i punti del piano cartesiano comuni alla conica e alla retta.
Riscrivo l'equazione dell'ellisse:
x² + y² / 4 = 1
Quindi:
a²=1, b²=4, c=radice (3)
Intersezioni con asse x (+/-1)
Intersezioni con asse y (+/-2)
Fuochi:
F1= (0, c)
F2= (0, - c)
Traccio l'equazione della retta avente equazione x+y=3
Osservo che non esistono punti di intersezione tra la conica e la retta
Analiticamente:
{4x² + y² = 4
{y = (3 - x)
Sostituendo la seconda equazione nella prima si ricava:
5x² - 6x + 5 = 0
Il discriminante dell'equazione di secondo grado risulta negativo (D<0). L'equazione non ammette soluzioni reali. Non esistono punti d'intersezione tra la conica e la retta.
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Genius II
Come spesso mi accade con le tue domande trovo un po' strana anche questa.
Intanto il Titolo: l'esercizio n° 73 riguarda una sola ELLISSE, al singolare e con due elle.
Poi la richiesta "come impostare": come le istruzioni che hai fotografato, non le hai lette?
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1) La prima istruzione è: stabilire il numero di soluzioni del sistema per via grafica.
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La retta
* x + y = 3 ≡ x/3 + y/3 = 1
è la congiungente dei punti d'intercetta (3, 0) e (0, 3)
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L'ellisse
* 4*x^2 + y^2 = 4 ≡ x^2 + y^2/4 = 1 ≡ (x/1)^2 + (y/2)^2 = 1
è riferita ai proprii assi con i fuochi sull'asse y e i vertici
* (± 1, 0) sull'asse x
* (0, ± 2) sull'asse y
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Dalle intersezioni con gli assi di retta ed ellisse si vede che
* nel confronto fra (0, + 2) e (0, 3) l'ellisse è sotto la retta
* nel confronto fra (+ 1, 0) e (3, 0) l'ellisse è a sinistra della retta
quindi le due curve non hanno punti comuni.
Dalle informazioni grafiche si conclude che il numero di soluzioni del sistema è ZERO.
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2) La seconda istruzione è: verificare risolvendo il sistema per via algebrica.
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Sistema
* (x + y = 3) & (4*x^2 + y^2 = 4) ≡
≡ (y = 3 - x) & (4*x^2 + (3 - x)^2 - 4 = 0) ≡
≡ (y = 3 - x) & (x^2 - (6/5)*x + 1 = 0) ≡
≡ (y = 3 - x) & ((x - 3/5)^2 + (4/5)^2 = 0)
e il fatto che il primo membro della risolvente sia una somma positiva di due quadrati non nulli conferma il risultato ottenuto dalle considerazioni sul grafico.
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Genius I
