[Risolto] Elaborato matematica misto fisica

Essendo la corrente la derivata prima della carica rispetto al tempo, se ne deduce che:

$Q(t)=\int_{0}^{t} i(t) dt +Q(0)$ e quindi, essendo $Q(0)$=0

$Q(t)=\frac{E}{R}\int_{0}^{t} e^{-\frac{t}{RC}} dt = \frac{E}{R}(-RC)[e^{-\frac{t}{RC}}]_0^t=CE(1-e^{-\frac{t}{RC}})$

sostituendo i numeri:

$Q(t)=6*10^{-4}(1-e^{-5.376t})$

La tensione ai capi del condensatore vale:

$v_C(t)=Q(t)/C=10(1-e^{-5.376t})$

al tempo $t_1=RC=0.186$ $s$ la tensione vale:

$v_C(t_1)=10(1-\frac{1}{e})=6.32$ $V$

Equazione alla maglia:

$E=Ri(t)+\frac{Q(t)}{C}=R\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C}$

o anche:

$EC=RC\frac{dQ(t)}{dt}+Q(t)$

l'equazione omogenea associata è

$RC\lambda+1=0$ da cui $\lambda=-\frac{1}{RC}$

l'integrale generale è pertanto nella forma 

$Ke^{-\frac{t}{RC}}$

essendo il termine forzante una costante, l'integrale particolare sarà anch'esso una costante, quindi 

$Q(t)=EC$, dato che $\frac{dQ(t)}{dt}=0$ se $Q(t)$ è costante.

Quindi in definitiva abbiamo:

$Q(t)=EC+Ke^{-\frac{t}{RC}}$

Per determinare $K$ sappiamo che $Q(0)=0$ quindi

$Q(0)=EC+K=0$ e quindi $K=-EC$

in definitiva:

$Q(t)=EC(1-e^{-\frac{t}{RC}})$  c.v.d.

-------------------------------------------------------

seconda parte

$f(x)=\frac{x}{x^2+k}$

osservazione preliminare: se $k=0$ abbiamo $f(x)=\frac{x}{x^2}=f(x)=\frac{1}{x}$ da cui ne deriva che $x \neq 0$ e la funzione diventa una semlpice iperbole equilatera e certamente non ha tre flessi.

come campo di esistenza in generale $x^2 \neq -k$ cioè $x \neq \sqrt{-k}$ e $x \neq -\sqrt{-k}$  

Una volta detto questo il problema sta nel derivare due volte la funzione usando la formula della derivata del quoziente:

$f'(x)=\frac{x^2+k-x(2x)}{(x^2+k)^2}=\frac{k-x^2}{(x^2+k)^2}$

$f"(x)=\frac{-2x(x^2+k)^2-(k-x^2)(2(x^2+k)*2x)}{(x^2+k)^4}=\frac{-2x(x^2+k)-(k-x^2)(4x)}{(x^2+k)^3}$

semplificando

$f"(x)=\frac{2x(x^2-3k)}{(x^2+k)^3}$

Per trovare i punti di flesso la derivata seconda si deve annullare, quindi si deve annullare il numeratore:

$2x(x^2-3k)=0$ 

Se ne deduce che un flesso è in x=0 (ricordiamoci che questo vale se e solo se $k \neq 0$) e gli altri due si ottengono per 

$x^2=3k$

affichè questa equazione abbia soluzioni è necessario che $3k>0$, cioè $k>0$

Quindi la condizione affinchè la funzione ammetta 3 punti di flesso è $k>0$

 

L'ultima domanda te la lascio, prova a farla da solo, non è difficile.

Dato che trovi problemi te la risolvo:

La funzione è dispari, quindi basta studiarla per $x>0$.

Prendiamo $x_1=+\sqrt{3k}$

se il punto deve appartenere alla retta $y=2x$ significa che 

$y_1=2x_1=2\sqrt{3k}$

ma il punto deve appartenere anche alla funzione, quindi

$f(x_1)=\frac{\sqrt{3k}}{3k+k}=\frac{\sqrt{3k}}{4k}$

ma deve essere che $f(x_1)=y_1$ quindi

$\frac{\sqrt{3k}}{4k}=2\sqrt{3k}$ 

Si semplifica $\sqrt{3k}$ e ti rimane 

$k=\frac{1}{8}$