[Risolto] Dubbio sui polinomi di Bernoulli

Allora premetto che non li avevo mai sentito prima, ho visto i link che mi hai inviato e sono una cosa stupenda!

Ora torniamo a noi, sinceramente non sono sicuro qual  quale era il tuo scopo, quindi provo ad eseguire il tuo stesso ragionamento e vediamo cosa non va.

Io farò riferimento solo ed esclusivamente al PDF che hai inviato;

Dalla prop. 1.4 possiamo affermare che:

$B_{n}$=$B_{n}(0)$=$B_{n}(1)$ per ogni n$\geq$2

Ora:

$\sum_{k=1}^{m}{k^{n}}$= $\frac{ B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}(1)}{n+1}$

Per semplificare la scritta utilizzo il corollario 1.5:

$B_{n}$=$\sum_{k=0}^{n}{ \left(n over k \right) B_{k}}$

Quindi mi trovo che:

$\sum_{k=1}^{m}{k^{n}}$= $\frac{ B_{n+1}(m+1) +-B_{n+1}(1)}{n+1}$=$\frac{\sum_{k=0}^{n+1}{ \left(n+1\k\right) B_{k} - B_{n+1}(1)}}{n+1}$

Da Wikipedia abbiamo che:

$\sum_{k=1}^{m}{k^{n}}$=$\frac{ 1 }{n+1}$$\sum_{k=0}^{n+1}{ \left(n+1 \over k \right) B_{k} m^{n-k+1}}$

Che sempre per il corollario 1.5 (credo si possa fare basta che n sia maggiore di 2):

$\sum_{k=1}^{m}{k^{n}}$=$\frac{ 1 }{n+1}$$\sum_{k=0}^{n+1}{ \left(n+1 \over k\right) B_{k} }$

Poi non ho capito cosa hai fatto, il tuo scopo quale è?