Dubbio su endomorfismi diagonalizzabili

Problema:

L'insieme $V \subset End \mathbb{R}^2$ degli endomorfismi diagonalizzabili è:

a. Un sottospazio;

b. Chiuso per somma;

c. Chiuso per moltiplicazioni per scalari;

d. Nessuna delle altre.

Soluzione:

La (a) implica che siano vere sia la (b) che la (c) per definizione di sottospazio vettoriale, di conseguenza basta smentire una delle due per invalidarla. 

La (c) è verificata dato che le matrici diagonalizzabili sono del tipo $D=P^{-1}MP$ ove $P$ è la matrice colonna costituita dagli autovettori associati agli autovalori presenti sulla diagonale di $D$, moltiplicare tutto per uno scalare sia a destra che a sinistra non ne altera la diagonabilità. Si esclude quindi l'opzione (d). Più rigorosamente: se $M=PDP^{-1}$, allora $\lambda M=P \lambda D P^{-1}$.

La (b) in genere non è vera dato che la somma di due matrici diagonalizzabili non è diagonalizzabile a sua volta, infatti se $A+B$ è diagonalizzabile vale che $D=P^{-1}(A+B)P=P^{-1}AP+P^{-1}BP$. Ciò significa che $P$ diagonalizza simultaneamente sia $A$ che $B$, quindi dovrebbe valere che $AB=BA$. Ciò significa affermare che tutte le matrici diagonalizzabili commutano, ma ciò è falso dato che le matrici diagonalizzabili commutanti tra loro sono un sottoinsieme delle diagonalizzabili.

L'unica risposta corretta è dunque la (c).