[Risolto] Doppia domanda

Un solo esercizio per domanda. Affronto l'integrale.

Calcoliamo dapprima l'indefinito per poi applicare il teorema fondamentale.

$ \int \frac{x*arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = $

per parti

fattore finito $f(x) =   arcsin(x) \quad \implies \quad   f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

fatt. differ. $g'(x) = \frac {x}{\sqrt{1-x^2}} \quad \implies \quad g(x) = - \sqrt{1-x^2}$

per cui

$ = -\sqrt{1-x^2} \cdot  arcsin(x) - [ \int - \sqrt{1-x^2} \cdot \frac {1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx] = $

$ = -\sqrt{1-x^2} \cdot arcsin(x) + x + c$

Passando all'integrale definito

$ \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x*arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \left.-\sqrt{1-x^2} arcsin(x) + x \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{12}(6-\sqrt{3}π) $

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Rimane da calcolare g(x) integrando g'(x)

$ g(x) = \int g'(x) \, dx = \int x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int -2x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \, dx =$

$ = -\frac{1}{2}\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = - \sqrt{1-x^2} $