dominio e insieme immagine

Problema:

Si determini il dominio e l'insieme immagine della seguente funzione:

$y=\sqrt{2-x}$

Soluzione:

Per il dominio basta analizzare l'insieme di esistenza, ossia $2-x≥0$. Il dominio è dunque $D \equiv (-∞,2)$.

L'immagine è individuabile sapendo che $\sqrt{\dots}$ è sempre positiva o al più nulla.  Quindi si ha che $Im(y)\equiv \mathbb{R}^+_0$

Il metodo che hai utilizzato è corretto, ma non hai tagliato il dominio della funzione inversa $y^{-1}=2-x^2$ che in questo caso non dovrebbe essere non iniettiva. In breve devi porti nella condizione nella quale è possibile avere $(y^{-1})^{-1}=y$.

Quindi 

$y^{-1}=2-x^2$

$2-y^{-1}=x^2$

$x=\pm \sqrt{2-y^{-1}}$

$(y^{-1})^{-1}=\pm \sqrt{2-x}$

Ovviamente per avere $(y^{-1})^{-1}=y$ va presa l'opzione positiva. Quindi, poiché $(y^{-1})^{-1}=y$ e $(y^{-1})^{-1}≥0$, si ha che $y≥0$.

Se sei al quinto anno di superiori o all'università potresti studiare la monotonia della funzione e utilizzare il teorema dei valori intermedi.