Dominio.

Problema:

Determinare il dominio della seguente funzione.

$y=\frac{\sqrt{|x+4|-2}}{3-|x²-1|}$

Soluzione:

Il primo passo per determinare il dominio di una funzione è individuarne la struttura, ossia da quali funzioni, con limitazioni, è composta. In questo caso è formata da una funzione fratta e una radice con indice pari; i valori assoluti non presentano limitazioni di alcun tipo, quindi possono non essere conteggiati nell'individuazione della struttura.

La radice di indice pari necessita argomento positivo o nullo, quindi si ha $|x+4|-2≥0$. La funzione fratta necessità denominatore non nullo, quindi si ha $3-|x²-1|\neq 0$.

Poiché le condizioni devono essere rispettate entrambe contemporaneamente, si mettono a sistema:

$\{ |x+4|-2≥0, 3-|x²-1| \neq 0 \implies x≤-6 \cup x≥-2,  x≠\pm 2 \implies x≤-6 \cup -2<x<2 \cup x>2$.

Il dominio a valori reali è dunque $D \equiv (-∞,-6] \cup (-2,2) \cup (2,+∞)$

Dobbiamo porre il radicando maggiore o uguale a zero e il denominatore diverso da zero

AL NUMERATORE

|x+4|-2 ≥ 0 

|x+4| ≥ 2

Distinguano i casi

x+4 ≥ 2  se x≥-4

-x-4 ≥ 2. se x<-4

x ≥ -2, x≥ -4

x ≤ -6, x<-4

S: x≤-6∨x≥-2

AL DENOMINATORE 

3-|x²-1| ≠ 0

|x²-1| ≠ 3

x²-1 ≠ ±3

x² ≠ 4 ∨ x² ≠ -2

x ≠ ±2 ∨ ∄x∈ℝ

S:x ≠ ±2

In conclusione 

Mettiamo a sistema le due condizioni 

x≤-6∨x≥-2

x≠±2

Soluzione finale : x≤-6∨x>-2∧x≠2

La soluzione è anche il dominio della funzione