Domanda matematica

Question

Considera la funzione f(x)=a x^3+b x^2+c x+d.Determina i coefficienti a, b, c e d in modo che sia: f(0)=0, f(1)=1, f^{ prime }(0)=2, f^{ prime  prime }(1)=-6$.Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione passanti per P(1,2)$ e indica con A e B i punti di ontatto delle tangenti con la curva di equazione y=f(x)$.Determina l'area del triangolo A P B.Scrivi l'equazione della circonferenza tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa 1 e passante per l'origine. [attach]68342[/attach]  Ho avuto difficoltà a svolgere il problema, sono riuscita a fare la domanda a, e ho trovato una tangente della domanda b, però non penso sia giusto il modo in cui l’ho trovata. Se qualcuno riesce ad aiutarmi, grazie.

LucianoP · Accepted Answer

Rette tangenti ad una cubica e punti di contatto [attach]68397[/attach] y = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d passa per i due punti: [0, 0] ; [1, 1] Si ha inoltre: y'= 3·a·x^2 + 2·b·x + c y'' = 6·a·x + 2·b Quindi si imposta il sistema: {0 = a·0^3 + b·0^2 + c·0 + d {1 = a·1^3 + b·1^2 + c·1 + d {3·a·0^2 + 2·b·0 + c = 2 (che esprime f'(0)=2) {6·a·1 + 2·b = -6 (che esprime f''(1)=-6) quindi: {d = 0 {a + b + c + d = 1 {c = 2 {6·a + 2·b = -6 Risolvo ed ettengo: [a = -1 ∧ b = 0 ∧ c = 2 ∧ d = 0] La funzione è: y = (-1)·x^3 + 0·x^2 + 2·x + 0 y = 2·x - x^3 [attach]68398[/attach] Il punto generico della cubica è: [t, 2·t - t^3] La retta generica tangente in esso è: y - (2·t - t^3) = (2 - 3·t^2)·(x - t) Impongo il passaggio di tale retta generica per il punto P(1,2): 2 - (2·t - t^3) = (2 - 3·t^2)·(1 - t) t^3 - 2·t + 2 = 3·t^3 - 3·t^2 - 2·t + 2 3·t^3 - 3·t^2 - 2·t + 2 - (t^3 - 2·t + 2) = 0 2·t^3 - 3·t^2 = 0-----> t^2·(2·t - 3) = 0 t = 3/2 ∨ t = 0 (contata 2 volte) Punti di contatto: [0, 2·0 - 0^3]-----> A(0,0) retta tangente in A: y - (2·0 - 0^3) = (2 - 3·0^2)·(x - 0) y = 2·x [3/2, 2·(3/2) - (3/2)^3]-----> B(3/2,-3/8) retta tangente in B: y - (2·(3/2) - (3/2)^3) = (2 - 3·(3/2)^2)·(x - 3/2) y = 27/4 - 19·x/4

[Risolto] Domanda matematica

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