Buongiorno, sono uno studente di 5 liceo scientifico, che sta iniziando ad affrontare gli integrali indefiniti. Il nostro professore ci ha detto di considera "dx" soltanto come un simbolo che si pone nell integrale. Oggi abbiamo fatto il metodo delle sostituzioni e si doveva trovare anche di. Vorrei capire l'aspetto logico di questo (quello che mi piace della matematica) e non solo "fare l'esercizio meccanicamente con la formula" dx=derivata di t per dt. Se qualcuno potesse spiegarmelo mi farebbe un piacere! Grazie
@Fede_uwu-2 Mi è uscito questo video nella home page di YouTube, potrebbe tornarti utile:
Grazie mille ☺️🫶
4 Risposte
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La domanda è parecchio profonda; non mi metto a spiegare le $1$-forme differenziali perché è abbastanza precoce. Se vuoi approfondire, ti consiglio il seguente video (inglese).
Quanto segue contiene molte approssimazioni grossolane (ad esempio non ho introdotto il prodotto vettoriale ecc), si consideri ciò solamente come una intuizione non giustificata.
Ti spiego cosa accade mediante lo Jacobiano, decisamente più intuitivo e visivo. (Serve comunque una buona padronanza del programma di Analisi I delle superiori per starmi dietro)
Per prima cosa dovresti sapere che cos'è, intrinsecamente, un integrale: per comodità si considera l'integrale di Riemann, ottenuto dalle somme di Cauchy.
Come già sai, l'integrale non è l'inverso della derivata, come molti vogliono farti credere (questa è una conseguenza del TFCI); esso nasce dal problema di calcolare le aree sottese a un grafico (infatti andrebbe studiato prima l'integrale definito e poi l'indefinito...) .
L'idea di fondo è approssimare l'area sommando piccoli rettangolini che hanno come base $dx$ e altezza $f(x)$; infatti il simbolo di integrale è $\int$, una S allungata che richiama la somma.
Chiarito ciò, si può considerare, ad esempio, una funzione \[ f(g(x)) = g^2(x). \]
Per integrarla comodamente conviene porre $g(x)=u$; ciò ricorda vagamente un cambio di coordinate, giusto? Che cos'è, intrinsecamente, un cambio di coordinate?
Alle superiori è difficile spiegarlo: servirebbe un po' di algebra lineare.
Puoi però pensarlo, molto grossolanamente, come una trasformazione degli assi cartesiani. In $\mathbb{R}$ non è molto chiaro cosa accada; quindi, per comodità, conviene spostarsi in $\mathbb{R}^2$.
Adesso non è importante come si calcola questo integrale (giustamente non sai ancora farlo), ma considera \[ \iint_{\Omega} (x^2 + y^2)\, dx\, dy, \] Ove $\Omega = \{ x^2 + y^2 \le 1 \}$ (stai integrando su un cerchio unitario di $\mathbb{R}^2$, non su un segmento come avveniva in $\mathbb{R}$ ).
Una tecnica utile è passare dalle coordinate cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $(\rho,\theta)$, dove $\rho$ è il raggio.
Questa immagine non mostra il caso in esame, ma mostra come cambiano le figure tra il sistema cartesiano e quello polare.
Si pone quindi \[ x = \rho \cos\theta, \qquad y = \rho \sin\theta, \] e, con qualche conto, si scopre che \[ x^2 + y^2 = \rho^2. \]
Sostituendo si ottiene \[ \iint_{\Omega} \rho^2\, dx\, dy. \]
Ma che cos'è questo $dx\,dy$? Rifacendosi all'intuizione dei rettangoli, sarebbe un rettangolino di lati $dx$ e $dy$. Però le coordinate $x$ e $y$ non sono più le variabili indipendenti, dato che ora $\Omega = \{ \rho \le 1 \}$: esistono solo $\rho$ e $\theta$, perché si è passati dagli assi $(x,y)$ a quelli $(\rho,\theta)$.
Cosa succede, in generale, quando si cambiano assi? Le aree come si comportano? Variano? Se $dx\,dy$ rappresenta un rettangolino, questo ha un'area: tale area rimane invariata dopo il cambio di coordinate?
Molte domande, fin troppe. Come al solito si ricade nell'algebra lineare...
Immagina $dx$ e $dy$ come vettori: l'area del parallelogramma generato da due vettori è data dal determinante.
Tornando al cambio di variabile \[ x = \rho \cos\theta, \qquad y = \rho \sin\theta, \] puoi notare che è possibile derivare tali espressioni (derivate parziali) rispetto a $\rho$ e rispetto a $\theta$. Per comodità, considera prima $x$: \[ \partial_{\rho} x = \cos\theta, \qquad \partial_{\theta} x = -\rho \sin\theta. \]
Facendo lo stesso per $y$, si può costruire una matrice $2\times 2$, \[ J = \begin{pmatrix} \partial_{\rho} x & \partial_{\theta} x \\ \partial_{\rho} y & \partial_{\theta} y \end{pmatrix}. \]
Questa matrice contiene le informazioni del nuovo sistema di riferimento; prendendone il determinante (che si chiama Jacobiano), si ottiene esattamente la descrizione della variazione dell'area.
@fede_uwu-2 di nulla! Quando affronterai Analisi II molte cose della teoria di Analisi I ti diventeranno chiare~
@rebc Ho pensato di scrivere questa risposta perchè immagino che un liceale non abbia contezza di cosa sia uno Jacobiano. La mia risposta non è una dimostrazione puntuale e formalmente ineccepibile come la tua, ma ritengo possa risultare più facilmente comprensibile per chi abbia solo una idea ancora "in nuce" del calcolo integrale. Comunque complimenti per la tua bella dimostrazione. Conservala e utilizzala quando farai lezione in qualche aula universitaria a studenti di analisi 1. Buona serata
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Il tuo professore ha ragione a dirti di considerare inizialmente "dx" come un simbolo, ma per capire la sostituzione dobbiamo dare un significato più profondo a quel "dx".
Ti propongo una spiegazione che cerca di andare al cuore logico della questione, partendo da un'analogia.
L'analogia del cambio di unità di misura
Immagina di dover calcolare uno spazio percorso, ma di avere la velocità espressa in km/h e il tempo in ore. La formula classica è:
Spazio = Velocità × Tempo
Se volessi usare il tempo in minuti, non potresti semplicemente sostituire "60 minuti" al posto di "1 ora" nella formula, perché la velocità è tarata sulle ore. Dovresti prima convertire i minuti in ore, dividendo per 60.
L'integrale funziona in modo simile. Quando scriviamo l'integrale ∫f(x)dx, la variabile x è la nostra "unità di misura" e "dx" rappresenta un "passo infinitesimo" lungo questa unità di misura.
Il problema: cambiare variabile
Quando decidiamo di sostituire x con una funzione di t, del tipo x = g(t), stiamo cambiando "unità di misura". Non possiamo semplicemente mettere g(t) al posto di x e chiamarlo giorno, perché l'integrale è stato "tarato" per funzionare con i passi "dx", non con i passi "dt".
Ecco il punto cruciale: "dx" e "dt" non sono la stessa cosa. Se x cambia al variare di t, anche il "passo infinitesimo" dx sarà diverso dal passo dt.
Il perché della formula dx = g'(t) dt
Vediamo di capire da dove salta fuori quella formula, che è il cuore della tua domanda.
Pensa alla relazione x = g(t). La derivata g'(t) ci dice una cosa fondamentale: "Se faccio un piccolo passo dt sulla variabile t, di quanto si muove la variabile x?"
La risposta è: se dt è un numero molto piccolo (infinitesimo), la variazione corrispondente di x, che chiamiamo dx, è approssimativamente uguale a g'(t) moltiplicato per dt.
In termini formali:
La variazione infinitesima di x è uguale alla velocità di variazione istantanea (che è g'(t)) moltiplicata per la variazione infinitesima di t (che è dt).
Ecco quindi la formula: dx = g'(t) dt Non è una formula buttata lì, ma una relazione di proporzionalità tra gli incrementi infinitesimi delle due variabili. È il modo corretto per convertire il vecchio "passo" dx nel nuovo "passo" dt.
Il quadro completo della sostituzione Allora, cosa succede quando applichiamo la sostituzione x = g(t) all'integrale ∫f(x)dx?
Cambiamo la funzione: Sostituiamo ogni x con g(t), ottenendo f(g(t)).
Cambiamo il "passo": Sostituiamo dx con il suo equivalente in dt, cioè g'(t) dt.
Mettendo tutto insieme:
L'integrale∫f(x)dx diventa l'integrale di ∫ f( g(t)) · g'(t) dt.
Non stiamo solo sostituendo un simbolo, ma stiamo trasformando coerentemente tutto l'oggetto matematico nella nuova variabile t, esattamente come nell'esempio delle ore e dei minuti.
Un esempio semplice
Prendiamo un integrale facile: integrale di ∫2x√(x²+1) dx.
Vediamo la sostituzione classica: t = x²+1.
Ecco il ragionamento logico passo-passo:
L'idea: La parte difficile è la radice di (x²+1). Se poniamo t = x²+1, la radice diventa √t, molto più semplice.
Il problema: L'integrale è in dx, ma io ora voglio lavorare in dt. Devo convertire il passo.
Trovare la relazione tra i passi: So che t = x² + 1. Domanda: "Se faccio un piccolo passo dx sulla x, di quanto si muove t?" La derivata mi dà la risposta: dt = 2x dx.
La sostituzione: Guarda l'integrale di partenza: c'è già 2xdx! È esattamente l'espressione che abbiamo per dt.
Possiamo quindi sostituire direttamente:
√(x²+1) diventa √t 2xdx diventa dt
L'integrale diventa integrale ∫√tdt, che è immediato.
In questo caso, la formula dx = (1/2x) dt è vera, ma noi abbiamo usato la relazione al contrario (dt = 2x dx) perché era più comoda. L'importante è capire che la relazione tra i differenziali è sempre biunivoca e ci permette di passare da una variabile all'altra senza perdere informazioni.
In sintesi dx non è solo un simbolo grafico. Rappresenta un "passo infinitesimo" sulla variabile x. Quando cambi variabile, devi cambiare anche il passo, e lo fai usando la derivata, che è lo strumento che collega le variazioni infinitesime di due grandezze legate tra loro.
La formula dx = g'(t) dt non è un trucco meccanico, ma l'espressione matematica del fatto che "la variazione di x è proporzionale alla variazione di t, e la costante di proporzionalità è proprio la derivata di x rispetto a t". È questo che rende il metodo della sostituzione logicamente solido e non un semplice artificio di calcolo.
(dove deltax = x'* dx = 1*dx = dx [ da cui deriva il simbolo (rapporto "vero") df/dx = f'(x)] ... se x = x(x) è variabile indipendente)
...se esiste f'(xo) significa che "sigma" è infinitesimo di ordine superiore rispetto a deltax = x - xo (...per x---> xo ); cioè se f è derivabile in xo vale:
deltaf ~ df = per definizione = f'(xo) * dx ... tanto usata dai "tecnici".
