Test a risposta multipla. Un compito in classe è costituito da 10 quesiti, ciascuno con quattro risposte di cui una sola è esatta. Il professore assegna 1 punto per ogni risposta esatta e nessun punto per ogni risposta sbagliata o non data. Paolo risponde a caso a tutti i quesiti.
a. Qual è la probabilità che Paolo prenda la sufficienza, cioè che dia almeno sei risposte esatte? Determina la formula che esprime tale probabilità, quindi determinane un valore approssimato con l'aiuto di una calcolatrice. Arrotonda il risultato a meno di un centesimo ed esprimilo sotto forma di percentuale.
b. Qual è il voto medio che Paolo può aspettarsi di prendere dando tutte le risposte a caso?
c. Benché impreparato, Paolo ha la capacità di riconoscere, per ciascun quesito del test, una delle tre risposte sbagliate. In questo modo, aumenta a $\frac{1}{3}$ la probabilità di «azzeccare» la risposta giusta a ciascun quesito. Quale diviene, ora, la probabilità che Paolo raggiunga la sufficienza rispondendo a caso a tutti i quesiti?
$$
\left[\text { a. } \sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}\binom{1}{4}^k\binom{3}{4}^{10-k} \simeq 0,02=2 \% \text {; b. } 2,5 \text {; c. } \sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}\binom{1}{3}^k\binom{2}{3}^{10-k} \simeq 7,6 \%\right]
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
