Guida senza cintura. Da alcune indagini statistiche risulta che il $20 \%$ degli automobilisti guida ancora in città senza allacciare le cinture di sicurezza. Una pattuglia ferma e controlla a caso 5 auto; qual è la probabilità di riscontrare l'infrazione due volte?
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\left[\frac{128}{625}=20,48 \%\right]
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Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Se il $20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$ degli automobilisti guida senza cintura, la probabilità di incontrare un automobilista senza cintura è appunto $\frac{1}{5}$. La probabilità di incontrare un automobilista che indossa la cintura è $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. L'ispezioni della polizia, se annotate da qualche parte, potrebbero presentarsi come una serie di due lettere che rappresenta l'esito del controllo, ad esempio $CCNNC$, $CCCCC$, $NCNNN$ e via dicendo. L'esercizio richiede la probabilità che vengano fermate esattamente $2$ persone senza cintura, quindi le restanti $3$ la hanno, allora una stringa del genere è similare a $CCCNN$, $NNCCC$, in totale abbiamo $p=\frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$ possibili permutazioni di controlli desiderati, allora calcoliamo la probabilità $P_0$ che un controllo sia del tipo richiesto:
$P_0 = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{64}{3125}$
Per trovare la probabilità complessiva, moltiplichiamo $P_0$ per $p$, quindi $P= P_0 \cdot p = \frac{64}{3125} \cdot 10 = \frac{128}{625}= 20.48\%$.
Questo problema presuppone che la stessa persona possa essere fermata più volte.
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Livello 3
