Distanza di un punto da una retta "430"

@giorgia04

Scelgo un punto appartenente alla retta y= (1/3)*x - 2 e calcolo la distanza dalla seconda retta. Essendo le rette parallele tale distanza rappresenta la distanza tra le due rette. 

Scelgo il punto P(3, - 1) 

Calcolo quindi la distanza di P dalla retta y=(1/3)*x+1/2

D= |-1 - (1+1/2)|/ radice (1+1/9) = (5/2)/[(1/3)*radice (10)] = (15/2)* [ radice (10)/10] = 3*radice (10)/4

Ciao di nuovo.

Come il precedente offro un'altra alternativa risolutiva.

2·x - 6·y + 3 = 0------> y = x/3 + 1/2

l'altra è: y = 1/3·x - 2

Considero la retta parallela ad esse passante per il punto avente ascissa nulla e q pari alla media aritmetica delle due q:

q = (1/2 - 2)/2-----> q = - 3/4----> y = 1/3·x - 3/4

[0, - 3/4]

Metto a sistema la generica circonferenza avente centro in tale punto  e raggio r con una delle qualsiasi due rette assegnate:

{x^2 + (y + 3/4)^2 = r^2

{y = 1/3·x - 2

x^2 + ((1/3·x - 2) + 3/4)^2 = r^2

x^2 + (x/3 - 5/4)^2 = r^2

10·x^2/9 - 5·x/6 + (25/16 - r^2) = 0

tangenza:

Δ = 0

(5/6)^2 - 4·10/9·(25/16 - r^2) = 0

40·r^2/9 - 25/4 = 0-------> r = 3·√10/8

D=2·r = 3·√10/4

Che siano parallele due rette le cui equazioni sono date in forme diverse è da verificare, non da credere sulla parola
* r ≡ 2*x - 6*y + 3 = 0 ≡ y = x/3 + 1/2
* s ≡ y = x/3 - 2
ebbene sì: sono parallele con pendenza m = 1/3 e intercette p = 1/2, q = - 2.
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La distanza richiesta è
* d = √((p - q)^2/(m^2 + 1)) = √((1/2 + 2)^2/((1/3)^2 + 1)) = (3/4)*√10 ~= 2.37
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MOTIVAZIONI
Abbassando la perpendicolare dal punto P(0, 1/2) dell'intercetta maggiore al punto H sulla retta s d'intercetta minore si forma un triangolo rettangolo in H con terzo vertice Q(0, - 2).
L'ipotenusa è lunga |PQ| = |p - q| = √((p - q)^2).
Il cateto HP è lungo quanto la distanza incognita: d = |HP| = |PQ|*cos(θ).
Ma θ è l'inclinazione delle parallele, di cui m è la tangente: quindi
* cos(θ) = cos(arctg(m)) = 1/√(m^2 + 1).
QED