Disequazioni parametriche

Riscrivo l'equazione nella forma:

x²/(k-2) - y²/( - 6K) = 1

y= ± (b/a)*x

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

radice [ - 6k/(k-2)]=radice (6)

radice [6k/(2-k)]=radice (6)

6k=12-6k

k=1

SPIEGAZIONE
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Ogni conica a centro (ellisse o iperbole) non degenere e riferita ai suoi assi ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
dove (a, b), entrambi positivi, sono le misure dei semiassi.
In particolare
* Γ0 ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1 rappresenta un'iperbole con fuochi sull'asse y
* Γ1 ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1 rappresenta un'iperbole con fuochi sull'asse x
** e con asintoti: y = ± (b/a)*x
* Γ2 ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1 rappresenta un'ellisse immaginaria
* Γ3 ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1 rappresenta un'ellisse reale
** a < b: Γ3 ha i fuochi sull'asse y
** a = b: Γ3 è una circonferenza
** a > b: Γ3 ha i fuochi sull'asse x
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ESERCIZIO
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* Γ ≡ x^2/(k - 2) + y^2/(6*k) = 1
diventa
* Γ0 per (k - 2 < 0) & (6*k > 0) ≡ 0 < k < 2
* Γ1 per (k - 2 > 0) & (6*k < 0) ≡ ∄ k ∈ R
* Γ2 per (k - 2 < 0) & (6*k < 0) ≡ k < 0
* Γ3 per (k - 2 > 0) & (6*k > 0) ≡ k > 2
quindi
* Γ non può rappresentare una circonferenza né una conica con fuochi sull'asse x per nessun valore reale di k
* per k < 0, Γ2 rappresenta un'ellisse immaginaria
* per k = 0, Γ è indefinita
* per 0 < k < 2, Γ0 rappresenta un'iperbole con fuochi sull'asse y
* per k = 2, Γ è indefinita
* per k > 2, Γ3 rappresenta un'ellisse reale con fuochi sull'asse y
infatti
** k - 2 < 6*k ≡ k > - 2/5: Γ3 ha i fuochi sull'asse y
** k - 2 = 6*k ≡ k = - 2/5: Γ3 è una circonferenza
** k - 2 > 6*k ≡ k < - 2/5: Γ3 ha i fuochi sull'asse x
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) iperbole Γ0 o Γ1: 0 < k < 2
b) iperbole Γ1: ∄ k ∈ R
c) iperbole Γ0: 0 < k < 2
d) iperbole con b/a = √6: (b/a)^2 = 6 = 6*k/(k - 2) ≡ ∄ k ∈ R
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Dettaglio
* 6 = 6*k/(k - 2) ≡
≡ (k != 2) & (6*(k - 2) = 6*k) ≡
≡ (k != 2) & (6*k - 6*2 - 6*k = 0) ≡
≡ (k != 2) & (- 12 = 0) ≡
≡ (k != 2) & (insieme vuoto) ≡
≡ insieme vuoto