Disequazioni Logaritmi

Essendo la base: 0<1/10<1 la funzione logaritmica è decrescente quindi l'argomento segno segno opposto alla disequazione.

Quindi calcoliamo prima il C.E.

{(x + 1)/(x - 1) > 0

{x/(x + 1) > 0

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{x < -1 ∨ x > 1

{x < -1 ∨ x > 0

quindi: C.E.  [x < -1, x > 1]

(x + 1)/(x - 1) < x/(x + 1)

Soluzione : x < -1 ∨ - 1/3 < x < 1 ( i calcoli li fai tu!)

messa a sistema:

{x < -1 ∨ - 1/3 < x < 1

{x < -1 ∨ x > 1

si ottiene finalmente: [x < -1]

Sulla disequazione nella variabile reale x
* log(1/10, (x + 1)/(x - 1)) > log(1/10, x/(x + 1))
c'è un po' da dire prima di iniziare a sviluppare equivalenze (≡).
1) La diseguaglianza d'ordine stretto richiede valori reali dei logaritmi.
2) Il logaritmo è reale se e solo se l'argomento è reale positivo.
3) La funzione razionale fratta è reale se e solo se è definita, cioè ha denominatore non nullo.
4) Una frazione ben definita ha il segno del prodotto fra numeratore e denominatore.
4a) Una frazione ben definita è positiva se e solo se ha termini concordi, cioè è positivo il prodotto dei termini.
4b) Una frazione ben definita è negativa se e solo se ha termini discordi, cioè è negativo il prodotto dei termini.
5) Il logaritmo di base b è opposto a quello di base 1/b: log(b, q) + log(1/b, q) = 0.
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Ciò premesso si formulano e si semplificano le condizioni enunciate
* ((x + 1)/(x - 1) > 0) & (x/(x + 1) > 0) ≡ |x| > 1 ≡ (x < - 1) oppure (x > 1)
da congiungere alla disequazione originale prima di procedere.
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* (log(1/10, (x + 1)/(x - 1)) > log(1/10, x/(x + 1))) & (|x| > 1) ≡
≡ (- log(10, (x + 1)/(x - 1)) > - log(10, x/(x + 1))) & (|x| > 1) ≡
≡ (log(10, (x + 1)/(x - 1)) < log(10, x/(x + 1))) & (|x| > 1) ≡
≡ (10^log(10, (x + 1)/(x - 1)) < 10^log(10, x/(x + 1))) & (|x| > 1) ≡
≡ ((x + 1)/(x - 1) < x/(x + 1)) & (|x| > 1) ≡
≡ ((x + 1)/(x - 1) - x/(x + 1) < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ ((3*x + 1)/((x + 1)*(x - 1)) < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ ((x + 1/3)*(x^2 - 1) < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ ((x < - 1) oppure (- 1/3 < x < 1)) & (|x| > 1) ≡
≡ (x < - 1) & (|x| > 1) oppure (- 1/3 < x < 1) & (|x| > 1) ≡
≡ (x < - 1) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x < - 1
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CONTROPROVA nel paragrafo "Real solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=log%281%2F10%2C%28x%2B1%29%2F%28x-1%29%29%3Elog%281%2F10%2Cx%2F%28x%2B1%29%29