Disequazioni irrazionali

In entrambe le disequazioni
597) √(x/(x - 1)) < (x - 2)/x
598) √(x/(x + 1)) < x/(x - 1)
la diseguaglianza è di ordine stretto e pertanto impone che i radicandi non siano negativi.
La condizione affinché le espressioni siano disequazioni ben definite è
* (nessun denominatore zero) & (nessun radicando negativo)
Le espressioni date si devono trattare messe a sistema con tale condizione restrittiva.
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597) √(x/(x - 1)) < (x - 2)/x
* (x - 1 != 0) & (x != 0) & (x/(x - 1) >= 0) ≡ (x < 0) oppure (x > 1) ≡ (x ∉ [0, 1])
quindi
* (√(x/(x - 1)) < (x - 2)/x) & (x ∉ [0, 1]) ≡
≡ (x/(x - 1) < ((x - 2)/x)^2) & (x ∉ [0, 1]) ≡
≡ (((x - 2)/x)^2 - x/(x - 1) > 0) & (x ∉ [0, 1]) ≡
≡ (- (5*x^2 - 8*x + 4)/((x - 1)*x^2) > 0) & (x ∉ [0, 1]) ≡
≡ ((x < 0) oppure (0 < x < 1)) & (x ∉ [0, 1]) ≡
≡ x < 0
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598) √(x/(x + 1)) < x/(x - 1)
* (x + 1 != 0) & (x - 1 != 0) & (x/(x + 1) >= 0) ≡ (x < - 1) oppure (x >= 0) & (x != 1) ≡ x ∈ E
quindi
* (√(x/(x + 1)) < x/(x - 1)) & (x ∈ E) ≡
≡ (x/(x + 1) < (x/(x - 1))^2) & (x ∈ E) ≡
≡ ((x/(x - 1))^2 - x/(x + 1) > 0) & (x ∈ E) ≡
≡ ((- 1 < x < 0) oppure (x > 1/3) & (x != 1)) & ((x < - 1) oppure (x >= 0) & (x != 1))
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Quest'ultimo sistema ha una forma che si semplifica applicando la proprietà distributiva di AND rispetto ad OR
* (A ∨ B) ∧ (C ∨ D) =
= (A ∧ (C ∨ D)) ∨ (B ∧ (C ∨ D)) =
= (A ∧ C) ∨ (A ∧ D) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ D) =
= ((- 1 < x < 0) ∧ (x < - 1)) ∨ ((- 1 < x < 0) ∧ (x >= 0) ∧ (x != 1)) ∨ ((x > 1/3) ∧ (x != 1) ∧ (x < - 1)) ∨ ((x > 1/3) ∧ (x != 1) ∧ (x >= 0) ∧ (x != 1)) =
= Ø ∨ Ø ∨ Ø ∨ ((1/3 < x < 1) ∨ (x > 1)) =
= (1/3 < x < 1) ∨ (x > 1)
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Verifica anti spurie da quadratura con x = 2/3 (1/3 < 2/3 < 1)
* √((2/3)/(2/3 + 1)) < (2/3)/(2/3 - 1) ≡
≡ √(2/5) < - 2 ≡
≡ Falso ≡ (1/3 < x < 1) è una soluzione spuria
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CONCLUSIONE
598) √(x/(x + 1)) < x/(x - 1) ≡ x > 1