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DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE CON VALORE ASSOLUTO.

Problema:

Si risolva la seguente disequazione:

$2|\sin ²x -1|>\cos x$

Soluzione:

Per risolvere il quesito posto è opportuno portare tutto in una singola funzione ed utilizzare una sostituzione.

$2|\sin ²x -1|>\cos x$

$2|1-\cos ²x -1|>\cos x$

Dato che $|-x|=|x|$:

$2|\cos² x| > \cos x$

Poiché un valore reale $x \in [-1,1]$ al quadrato è sempre positivo è possibile rimuovere il valore assoluto. Sostituendo $t=\cos x$:

$2t²>t$

$t(2t-1)>0$

$t<0 \vee t>\frac{1}{2}$

Ossia

$\cos x<0 \vee \cos x > \frac{1}{2}$

$\frac{π}{2}+2kπ<x<\frac{3π}{2}+2kπ \vee 2kπ<x< \frac{π}{3}+2kπ \vee \frac{5π}{3}+2kπ<x<2π+2kπ, k \in \mathbb{Z}$

Mettendo il tutto sulla tabella dei segni si ottiene dunque:

$\frac{π}{3}+2kπ<x<\frac{5π}{3}+2kπ, k \in \mathbb{Z}$