Disequazioni goniometriche

Posta un esercizio per volta come da:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

EX.644

Risolvo per via grafica ponendo:

SIN(x) = Υ

COS(x) = Χ

e risolvendo il sistema:

{(3·Υ - √3·Χ)/(2·Χ + 1) ≤ 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

La prima fratta si può ottenere con due sistemi nel piano cartesiano:

Di cui le soluzioni sono:

2/3·pi + 2·k·pi < x ≤ 7/6·pi + 2·k·pi

- 2/3·pi + 2·k·pi < x ≤ pi/6 + 2·k·pi

Quindi unendo le due possibilità:

- 2/3·pi + 2·k·pi < x ≤ pi/6 + 2·k·pi ∨ 2/3·pi + 2·k·pi < x ≤ 7/6·pi + 2·k·pi

EX.649

soluzione:

Risolvo come sopra per via grafica.

SIN(x) = Υ ; TAN(x) = Υ/x

{(Υ - Υ/Χ)/(Υ·(Υ/Χ - 1)) ≤ 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

Semplifico la prima disequazione:

Υ·(Χ - 1)/Χ/(Υ·(Υ - Χ)/Χ) ≤ 0

con le posizioni:

Χ ≠ 0 ∧ Υ ≠ 0 di cui dovrò considerarle alla fine.( Relative all'annullarsi del seno e del coseno)

Semplificando ottengo:

(Χ - 1)/(Υ - Χ) ≤ 0

Che significa nella sostanza risolvere due sistemi sul piano cartesiano (X,Y):

Nella figura sono evidenziati tre cerchietti che dobbiamo scartare per quanto detto sopraQuindi la soluzione evidenziata sopra corrispondente al testo è esatta.