[Risolto] Disequazioni Frazionarie

Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0,
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) ∧ (N(x) > 0)) ∨ ((D(x) > 0) ∧ (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) ∧ (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) ∧ (N(x) < 0)) ∨ ((D(x) > 0) ∧ (N(x) > 0))
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* N(x) = x^4 - x^2 - 12 = (x + 2)*(x - 2)*(x^2 + 3)
* D(x) = 4*x^4 - x^2 = 4*(x + 1/2)*(x - 1/2)*x^2
dove i fattori (x^2 + 3) e 4, positivi ovunque, non influiscono sul segno e, per x != 0, nemmeno x^2.
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* f(x) = (x^4 - x^2 - 12)/(4*x^4 - x^2) <= 0 ≡
≡ (x + 2)*(x - 2)/((x + 1/2)*(x - 1/2)*x^2) <= 0 ≡
≡ (f(x) = 0) ∨ (f(x) < 0)
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b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) ∧ (N(x) = 0) ≡
≡ ((x + 1/2)*(x - 1/2)*x^2 != 0) ∧ ((x + 2)*(x - 2) = 0) ≡
≡ (x = - 2) ∨ (x = 2)
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a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) ∧ (N(x) > 0)) ∨ ((D(x) > 0) ∧ (N(x) < 0)) ≡
≡ (((x + 1/2)*(x - 1/2) < 0) ∧ ((x + 2)*(x - 2) > 0)) ∨ (((x + 1/2)*(x - 1/2) > 0) ∧ ((x + 2)*(x - 2) < 0)) ≡
≡ ((- 1/2 < x < 1/2) ∧ ((x < - 2) ∨ (x > 2))) ∨ (((x < - 1/2) ∨ (x > 1/2)) ∧ (- 2 < x < 2)) ≡
≡ (Falso, insieme vuoto) ∨ ((- 2 < x < - 1/2) ∨ (1/2 < x < 2)) ≡
≡ (- 2 < x < - 1/2) ∨ (1/2 < x < 2)
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Conclusione
* f(x) = (x^4 - x^2 - 12)/(4*x^4 - x^2) <= 0 ≡
≡ (f(x) = 0) ∨ (f(x) < 0) ≡
≡ (- 2 <= x < - 1/2) ∨ (1/2 < x <= 2)

( x^4 - 4x^2 + 3x^2 - 12)/[x^2 (4x^2 - 1)] <= 0

[x^2(x^2 - 4)+3(x^2 - 4)]/[x^2 (2x - 1)(2x + 1)] <= 0

ponendo x =/= 0 puoi eliminare x^2 e x^2 + 3 che sono sempre positivi

e ti resta (x-2)(x+2)/[(2x - 1)(2x+1)] <= 0, x =/= 0

che sai portare a termine costruendo il grafico dei segni.

Per aiutarti, ti ricordo che deve uscire un insieme soluzione simmetrico rispetto a 0.