[Risolto] Disequazioni fratte

ESERCIZIO b) Discuti la disequazione "(x + 1)/(2*x - x^2) > 4/3"
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DISCUSSIONE
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A) Il denominatore della frazione a primo membro, in quanto polinomio di grado due, ha due zeri per x in {0, 2}. Per tali valori la stringa "(x + 1)/(2*x - x^2) > 4/3" è pura decorazione grafica: merita il nome di "disequazione" se e solo se è elemento di un sistema di tre disequazioni in modo da escludere i valori che ne eliminano il significato matematico
* ((x + 1)/(2*x - x^2) > 4/3) & (x != 0) & (x != 2)
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B) Esclusi gli zeri del denominatore valgono le equivalenze che seguono.
* (x + 1)/(2*x - x^2) > 4/3 ≡
≡ (x + 1)/(2*x - x^2) - 4/3 > 0 ≡
≡ (x^2 - (5/4)*x + 3/4)/((3/4)*(2*x - x^2)) > 0 ≡
≡ ((x - 5/8)^2 + 23/64)/((3/4)*(2 - x)*x) > 0 ≡
≡ (3/4)*(2 - x)*x/((x - 5/8)^2 + 23/64) > 0
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C) Poiché due dei fattori
* 3/4 > 0
* (x - 5/8)^2 + 23/64 >= 23/64
non influiscono sul segno, li si può eliminare dalla discussione riducendo il primo membro al prodotto di due soli fattori che quindi è positivo se essi sono concordi.
* ((x - 5/8)^2 + 23/64)/((3/4)*(2 - x)*x) > 0 ≡
≡ 1/((2 - x)*x) > 0 ≡
≡ (2 - x)*x > 0 ≡
≡ (2 - x < 0) & (x < 0) oppure (2 - x > 0) & (x > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (0 < x < 2) ≡
≡ (0 < x < 2)
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D) Quindi ricostituendo il sistema del punto A si ottiene
* ((x + 1)/(2*x - x^2) > 4/3) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ (0 < x < 2) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ 0 < x < 2
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E) IL RISULTATO ATTESO E' ROTONDAMENTE ERRATO.
Verifica al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%28x%2B1%29%2F%282*x-x%5E2%29%3E4%2F3%29for+x+real

Probabilmente c'è un errore nel testo dell'esercizio o in quello che ti viene dato come risultato. La disequazione è verificata solo per valori della x compresi tra 0 e 2