[Risolto] Disequazioni di II grado

@Aurora_Lecchi

Si è tutto giusto, compreso il risultato finale. 

Ragionando un attimo però ti accorgi che certe volte è inutile applicare la formula risolutiva. Il numeratore è il quadrato di un binomio 

N(x) = (x - 1)²

Essendo un quadrato, sappiamo che è una quantità sempre positiva o nulla. Poiché l'esercizio richiede che la disequazione sia verificata in senso stretto ( > 0 ) , giungi alla conclusione:

 

N(x) = (x - 1)² > 0 se x≠ 1

 

in maniera veloce, senza eseguire alcun calcolo. 

 

Discorso simile può essere fatto per il denominatore. Hai giustamente raccolto a fattore comune x e hai determinato quindi le radici del polinomio D(x) = x² - 2x, x=0 e x=2.

Inutile anche in questo caso ricorrere alla formula risolutiva dell'equazione. Essendo il coefficiente del termine di secondo grado a=1 > 0 sappiamo che la disequazione D(x) >  0 è verificata per valori esterni all'intervallo delle radici, quindi:

 

D(x) > 0 se x<0 o x>2

 

che rappresenta anche la soluzione dell'esercizio. 

 

 

SVOLGIMENTO PER ISPEZIONE
Il primo membro della disequazione ha una forma ben nota: è l'inverso di un trinomio quadratico con Δ > 0, nel cui grafico si vede la classica curva a tre rami dove il ramo fra gli asintoti ha segno opposto ai rami esterni.
Per risolvere la disequazione occorre e basta determinare l'estremo del ramo interno e l'asintoto di quelli esterni.
Gli asintoti verticali li hai già localizzati tu: x = 0 oppure x = 2; l'asse della loro striscia è x = 1 e, per x = 1, si ha y = - 1: la curva tange inferiormente la retta y = - 1 che è il grafico del secondo membro.
L'asintoto orizzontale dei rami esterni è l'asse x perché, al crescere del modulo di x cresce il trinomio quadratico e quindi cala il suo inverso; dovendo essere di segno opposto al ramo interno i rami esterni sono positivi e pertanto soddisfanno alla diseguaglianza "> - 1".
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+1%2F%28x%5E2-2*x%29
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CONCLUSIONE: 1/(x^2 - 2*x) > - 1 ≡ (x < 0) oppure (x > 2).
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SVOLGIMENTO CON PASSAGGI ALGEBRICI
* 1/(x^2 - 2*x) > - 1 ≡
≡ 1/(x^2 - 2*x) + 1 > 0 ≡
≡ (x - 1)^2/(x*(x - 2)) > 0 ≡
≡ (x =! 0) & (x =! 1) & (x =! 2) & (x*(x - 2) > 0) ≡
≡ (x non in {0, 1, 2}) & ((x < 0) & (x < 2) oppure (x > 0) & (x > 2)) ≡
≡ (x non in {0, 1, 2}) & ((x < 0) oppure (x > 2)) ≡
≡ (x < 0) oppure (x > 2)
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SVOLGIMENTO CON USO DI SOFTWARE
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%281%2F%28x%5E2-2*x%29%3E-1%29for+x+real