disequazioni con trigonometria

Note preliminari:

1. Intendiamo operare con la griglia dei segni. Sarebbe opportuno sostituire la differenza di funzione, presente al denominatore, con una funzione o al più un prodotto di funzioni.

2. La periodicità della funzione è 2π

Consideriamo il termine 

$asinx + bcosx + c $ e applichiamo il metodo dell'angolo aggiunto

• $\sqrt{a^2+b^2} $ nel nostro caso $\sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

da cui

$ cosφ = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

$ sinφ = \frac{1}{\sqrt{2}} $

quindi $ φ = \frac{3}{4} \pi $

Abbiamo così ottenuto

$ -sinx+cosx = sin(x+ \frac{3}{4} \pi) $

La disequazione data è equivalente alla 

$ \frac{tanx}{sin(x+\frac{3}{4} \pi)} \ge 0 $

Passiamo alla griglia

0___π/4____π/2_____π_____5π/4____3π/2_____2π

0++++++++X---------0+++++++++++X----------0   tanx

+++X-----------------------------X+++++++++++++    sin(x+3π/4)

0++X---------X+++++0--------X++++++X----------0    diseq.

L'insieme soluzione S è quindi

S = [2kπ, π/4 +2kπ) U (π/2 +2kπ, π +2kπ] U (5π/4 +2kπ, 3π/2 +2kπ)      $k \in \mathbb{Z}$