[Risolto] Disequazioni con Ruffini e letterali

Non ti sembra indiscreto chiedere cinque discussioni in un colpo solo?

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AGGIUNTA (dopo i commenti d'aggiornamento)
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Sono d'accordo con te: aver avuto la costanza di risolvere cinquanta disequazioni capendo come fare e facendolo correttamente è davvero un ottimo risultato!
Sarei molto meno d'accordo con la mia collega che ne ha assegnate cinquantacinque se l'avesse fatto tutto in un colpo (come fece il mio professore di Greco che, per le vacanze di Natale 1955, ci assegnò ben 300 versi di una tragedia di Sofocle: alla faccia delle vacanze!). Voglio sperare che per te la consegna sia stata qualcosa del genere "Allora, risolvetene tre o quattro al giorno e segnate quelle che non capite come fare. Ne riparliamo fra un paio di settimane, buon lavoro!".
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Basta così, cerco di ricopiare senza errori e di vedere cos'abbiano in comune le cinque cerchiate.
Ti rammento che gli zeri reali di un polinomio partizionano l'asse x in intervalli di segno costante che si alternano; quindi le disequazioni polinomiali si risolvono a partire dalla scomposizione del polinomio.
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300) x^2 - 4*b*x + 4*b^2 >= 0 [non si legge]
304) (x - 1/2)*(x + 1/2) + (a/2)*(x - a) - (3/4)*a < 0 (a > 0) [non si legge]
325) 3*x^3 + 2*x^2 + 3*x + 2 < 0 [x < - 2/3]
327) 8*x^3 - 8*x^2 + 4*x - 4 > 0 [x > 1]
328) - 3*x^3 + x^2 + 7*x - 5 <= 0 [x >= - 5/3]
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CHE COSA VEDO
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300) Si scompone per ispezione riconoscendovi il quadrato di un binomio
* x^2 - 4*b*x + 4*b^2 >= 0 ≡
≡ x^2 - 2*(2*b)*x + (2*b)^2 >= 0 ≡
≡ (x - 2*b)^2 >= 0 ≡
≡ VERO ovunque in quanto zero per x = 2*b e positivo altrove.
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304) Occorre:
a) portare a forma ridotta il polinomio e scomporlo;
b) riconoscere che si tratta di un sistema di due disequazioni.
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304a) Sviluppare; commutare; ridurre.
* (x - 1/2)*(x + 1/2) + (a/2)*(x - a) - (3/4)*a =
= x^2 + (a/2)*x - a^2/2 - (3/4)*a - 1/4
Completare il quadrato dei termini in x; sostituire; ridurre.
* x^2 + (a/2)*x = (x + a/4)^2 - (a/4)^2
* x^2 + (a/2)*x - a^2/2 - (3/4)*a - 1/4 =
= (x + a/4)^2 - (a/4)^2 - a^2/2 - (3/4)*a - 1/4 =
= (x + a/4)^2 - (9/16)*a^2 - (3/4)*a - 1/4 =
= (x + a/4)^2 - (9/16)*(a^2 + (4/3)*a + 4/9)
Come in 300, riconoscere il quadrato di un binomio nei termini in a.
* (x + a/4)^2 - (9/16)*(a^2 + (4/3)*a + 4/9) =
= (x + a/4)^2 - ((3/4)^2)*(a + 2/3)^2 =
= (x + a/4)^2 - ((3/4)*(a + 2/3))^2
Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati".
* (x + a/4)^2 - ((3/4)*(a + 2/3))^2 =
= (x + a/4 + (3/4)*(a + 2/3))*(x + a/4 - (3/4)*(a + 2/3)) =
= (x + (2*a + 1)/2)*(x - (a + 1)/2) =
= (2*x + 2*a + 1)*(2*x - a - 1)/4
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304b) Valutare la disequazione a sistema con la condizione.
* (x - 1/2)*(x + 1/2) + (a/2)*(x - a) - (3/4)*a < 0 (a > 0) ≡
≡ ((2*x + 2*a + 1)*(2*x - a - 1)/4 < 0) & (a > 0) ≡
≡ ((a < - 2/3) & ((a + 1)/2 < x < - (2*a + 1)/2) oppure (a > - 2/3) & (- (2*a + 1)/2 < x < (a + 1)/2)) & (a > 0) ≡
≡ (a < - 2/3) & ((a + 1)/2 < x < - (2*a + 1)/2) & (a > 0) oppure (a > - 2/3) & (- (2*a + 1)/2 < x < (a + 1)/2) & (a > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (a > 0) & (- (2*a + 1)/2 < x < (a + 1)/2) ≡
≡ (a > 0) & (- (2*a + 1)/2 < x < (a + 1)/2)
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QUELLE DI GRADO TRE
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Dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
Raggruppare parte pari e parte dispari.
Mettere in evidenza opportuni fattori comuni.
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325) 3*x^3 + 2*x^2 + 3*x + 2 < 0 ≡
≡ x^3 + (2/3)*x^2 + x + 2/3 < 0 ≡
≡ x^3 + x + (2/3)*x^2 + 2/3 < 0 ≡
≡ x*(x^2 + 1) + (2/3)*(x^2 + 1) < 0 ≡
≡ (x + 2/3)*(x^2 + 1) < 0 ≡
≡ x + 2/3 < 0 ≡
≡ x < - 2/3
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327) 8*x^3 - 8*x^2 + 4*x - 4 > 0 ≡
≡ x^3 - x^2 + x/2 - 1/2 > 0 ≡
≡ x*(x^2 + 1/2) - (x^2 + 1/2) > 0 ≡
≡ (x - 1)*(x^2 + 1/2) > 0 ≡
≡ x - 1 > 0 ≡
≡ x > 1
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Questa è la sola per cui serva il Teorema di Ruffini
328) - 3*x^3 + x^2 + 7*x - 5 <= 0 ≡
≡ p(x) = x^3 - x^2/3 - (7/3)*x + 5/3 = x*(x*(x - 1/3) - 7/3) + 5/3 >= 0
i candidati zeri razionali sono i rapporti fra un divisore intero di 5
* {- 5, - 1, 1, 5}
e un divisore naturale di tre
* {1, 3}
Le valutazioni di tentativo mostrano che
≡ p(- 5/3) = (- 5/3)*((- 5/3)*((- 5/3) - 1/3) - 7/3) + 5/3 = 0
quindi
≡ p(x) = x^3 - x^2/3 - (7/3)*x + 5/3 =
= (x + 5/3)*(x^2 - 2*x + 1) = (x + 5/3)*(x - 1)^2 [x != - 5/3]
da cui infine
* x^3 - x^2/3 - (7/3)*x + 5/3 >= 0 ≡
≡ ((x + 5/3)*(x - 1)^2 >= 0) & (x != - 5/3) ≡
≡ (x + 5/3 >= 0) & (x != - 5/3) ≡
≡ (x >= - 5/3) & (x != - 5/3) ≡
≡ x > - 5/3