[Risolto] Disequazioni

NOMENCLATURA
* x, y: variabili
* a != 0: coefficiente direttore
* b, c: coefficienti qualsiasi
* s = - b/a = X1 + X2: somma degli zeri
* p = c/a = X1 * X2: prodotto degli zeri
* Δ = s^2 − 4*p: discriminante (Delta! "delta" significa un'altra cosa.)
* X1 = (s - √Δ)/2: zero sinistro (se esiste reale)
* X2 = (s + √Δ)/2: zero destro (se esiste reale)
* *: operatore di moltiplicazione
* ≡: operatore di equivalenza
* D, D' = uno degli operatori di diseguaglianza {<, <=, !=, >=, >}
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"cercando il delta" vuol dire:
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a) dividere membro a membro per il coefficiente direttore, eventualmente invertendo la diseguaglianza d'ordine se il coefficiente direttore è negativo, cioè
* a*x^2 + b*x + c D' 0 ≡ x^2 - s*x + p D 0
151) x^2 - 10*x - 5 > 0 [s = 10; p = - 5]
152) - 2*x^2 + 5*x - 3 >= 0 ≡ x^2 - (5/2)*x + 3/2 <= 0 [s = 5/2; p = 3/2]
153) x^2 + 4*x + 6 <= 0 [s = - 4; p = 6]
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b) calcolare
* Δ = s^2 − 4*p
come differenza fra il quadrato del coefficiente lineare e il quadruplo del termine noto.
151) Δ = s^2 − 4*p = 10^2 − 4*(- 5) = 120
152) Δ = s^2 − 4*p = (5/2)^2 − 4*3/2 = 1/4
153) Δ = (- 4)^2 − 4*6 = - 8
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Il "metodo della parabola" consiste nel dedurre dalla disequazione
* x^2 - s*x + p D 0
le proprietà geometriche della parabola rappresentata da
* y = x^2 - s*x + p
dalle quali ricavare la soluzione della disequazione; ovviamente, per le posizioni degli zeri si usano le espressioni in Nomenclatura.
151) X1 = 5 - √30; X2 = 5 + √30
152) X1 = 1; X2 = 3/2
153) X1 = - 2 - i*√2; X2 = - 2 + i*√2 [Δ = - 8 < 0 ≡ zeri non reali]
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c) Invece la posizione del vertice (e quindi l'asse di simmetria) si trovano completando il quadrato dei termini variabili
* y = x^2 - s*x + p ≡
≡ y = (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p ≡
≡ y = (x - s/2)^2 - (s^2 - 4*p)/4
da cui
* vertice V(s/2, - (s^2 - 4*p)/4)
* e quindi asse di simmetria: x = s/2
151) y = x^2 - 10*x - 5 → V(5, - 30)
152) y = x^2 - (5/2)*x + 3/2 → V(5/4, - 1/16)
153) y = x^2 + 4*x + 6 → V(- 2, 2)
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A questo punto per completare la risposta a "mostrarmi come risolvere ... col metodo della parabola e il delta" manca solo la costruzione del risultato in base alle proprietà del trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p
1) Essendo T(x) monico (apertura a = + 1) la concavità è verso l'alto.
2) Se Δ < 0, allora T(x) > 0 ovunque; T(x) <= 0 è impossibile.
3) Se Δ = 0, allora T(x) = (x - s/2)^2 >= 0 ovunque; T(x) < 0 è impossibile.
4) Se Δ > 0, allora ...
4a) per x < X1, T(x) > 0
4b) per x = X1, T(x) = 0
4c) per X1 < x < X2, T(x) < 0
4d) per x = X2, T(x) = 0
4e) per x > X2, T(x) > 0
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CONCLUSIONE
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151) x^2 - 10*x - 5 > 0 ≡ (x < X1) oppure (x > X2) [X = 5 ± √30]
152) x^2 - (5/2)*x + 3/2 <= 0 ≡ (1 <= x <= 3/2) [X = 5/4 ± 1/4]
153) x^2 + 4*x + 6 <= 0 ≡ per nessun x reale [X complessi]