Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Disequazione prodotto

  

0
D7C68C8E E41E 4DD7 896D 9A8C908F18A6

Buongiorno mi serve aiuto con questa disequazione, il risultato è x compreso tra 0 e 1 ma io mi trovo l’insieme vuoto facendo l’intersezione delle soluzioni dei due fattori.

Autore
Etichette discussione
2 Risposte



4

Edit:

Condizione esistenza radicando $x>=0$. La funzione $\sqrt{x}$ è definita per $x\geq 0$.

Valutiamo il segno di ciascun fattore:

I) $-\sqrt{x}>0$: mai,  è sempre negativo dove definito. 

II) $3x^2-3>0$ , $x^2-1>0$ , prendiamo le soluzioni esterne$\to$ $-1>x$ o $x>1$

Screenshot 20230407 121949 Chrome

Bisogna escludere  $x=0$  in quanto , se sostituito nell'espressione,  ritorna $0>0$ , non accettabile.

Mettendo a sistema le soluzioni con le condizioni di eesistenza tramite la regola dei segni si trova

$x$          -1     |       0    |        1     |   

1)   n.e.        |        -    |         -     |  -

2)    +           |        -    |          -    | +    

____________________________________

n.e.              |  +        |        +     |  -

n.e. = non esiste /non definito

$x \in ]0,1[$

@lorenzo_belometti non ho capito questo punto: "è sempre negativo dove definito". Perchè è così?

Screenshot 20230407 195416 Chrome

Grafico della funzione -radq(x) 

È sempre negativa nel suo dominio di definizione (x>=0). In zero è nulla.



1

Nella disequazione
* (- √x)*(3*x^2 - 3) > 0 ≡
≡ (√x)*(1 - x^2) > 0 ≡
≡ x^(1/2) - x^(5/2) > 0
la diseguaglianza d'ordine stretto impone la realtà e positività del primo membro, quindi il vincolo "x > 0" che implica la realtà e positività sia del minuendo "x^(1/2)" che del sottraendo "x^(5/2)".
Per la monotonicità della radice quadrata si può, mantenendo il vincolo, passare ai radicandi senza mutare la diseguaglianza
* ((- √x)*(3*x^2 - 3) > 0) & (x > 0) ≡
≡ (x^(1/2) - x^(5/2) > 0) & (x > 0) ≡
≡ (x - x^5 > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x < - 1) oppure (0 < x < 1)) & (x > 0) ≡
≡ (x < - 1) & (x > 0) oppure (0 < x < 1) & (x > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (0 < x < 1) ≡
≡ 0 < x < 1
che è proprio il risultato atteso.



Risposta
SOS Matematica

4.6
SCARICA