[Risolto] Disequazione prodotto

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Condizione esistenza radicando $x>=0$. La funzione $\sqrt{x}$ è definita per $x\geq 0$.

Valutiamo il segno di ciascun fattore:

I) $-\sqrt{x}>0$: mai,  è sempre negativo dove definito. 

II) $3x^2-3>0$ , $x^2-1>0$ , prendiamo le soluzioni esterne$\to$ $-1>x$ o $x>1$

Bisogna escludere  $x=0$  in quanto , se sostituito nell'espressione,  ritorna $0>0$ , non accettabile.

Mettendo a sistema le soluzioni con le condizioni di eesistenza tramite la regola dei segni si trova

$x$          -1     |       0    |        1     |   

1)   n.e.        |        -    |         -     |  -

2)    +           |        -    |          -    | +    

____________________________________

n.e.              |  +        |        +     |  -

n.e. = non esiste /non definito

$x \in ]0,1[$

Nella disequazione
* (- √x)*(3*x^2 - 3) > 0 ≡
≡ (√x)*(1 - x^2) > 0 ≡
≡ x^(1/2) - x^(5/2) > 0
la diseguaglianza d'ordine stretto impone la realtà e positività del primo membro, quindi il vincolo "x > 0" che implica la realtà e positività sia del minuendo "x^(1/2)" che del sottraendo "x^(5/2)".
Per la monotonicità della radice quadrata si può, mantenendo il vincolo, passare ai radicandi senza mutare la diseguaglianza
* ((- √x)*(3*x^2 - 3) > 0) & (x > 0) ≡
≡ (x^(1/2) - x^(5/2) > 0) & (x > 0) ≡
≡ (x - x^5 > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x < - 1) oppure (0 < x < 1)) & (x > 0) ≡
≡ (x < - 1) & (x > 0) oppure (0 < x < 1) & (x > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (0 < x < 1) ≡
≡ 0 < x < 1
che è proprio il risultato atteso.