[Risolto] Disequazione logaritmica n. 695 e sua risposta

La disequazione
695) ((ln(x^2))^2 - 9)/(3 - ln(|x|)) > 0
è indefinita solo per x = 0, come argomento di ln(), e per x = ± e^3 che annullano il denominatore; là dov'è definita, per x non in {- e^3, 0, e^3}, è anche reale in quanto sia x^2 che |x| sono positivi.
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Il primo membro è positivo se i termini sono concordi e nessuno è zero, cioè
* ((ln(x^2))^2 - 9)/(3 - ln(|x|)) > 0 ≡
≡ ((ln(x^2))^2 < 9) & (3 < ln(|x|)) oppure ((ln(x^2))^2 > 9) & (3 > ln(|x|)) ≡
≡ (- 3 < ln(x^2) < 3) & (|x| > e^3) oppure ((ln(x^2))^2 > 9) & (|x| < e^3)
qui mi conviene separare le quattro disequazioni semplici; alla fine ricostituirò il risultato.
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a) - 3 < ln(x^2) < 3 ≡ 1/e^3 < x^2 < e^3 ≡
≡ 1/√(e^3) < x < √(e^3)
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b) |x| > e^3 ≡ (x < - e^3) oppure (x > e^3)
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c) (ln(x^2))^2 > 9 ≡
≡ (ln(x^2) < - 3) oppure (ln(x^2) > 3) ≡
≡ (x^2 < 1/e^3) oppure (x^2 > e^3) ≡
≡ (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) oppure (x < - 1/√(e^3)) oppure (x > √(e^3)) ≡
≡ (x < - 1/√(e^3)) oppure (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) oppure (x > √(e^3))
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d) |x| < e^3 ≡ - e^3 < x < e^3
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* a & b ≡
≡ (1/√(e^3) < x < √(e^3)) & ((x < - e^3) oppure (x > e^3)) ≡
≡ (1/√(e^3) < x < √(e^3)) & (x < - e^3) oppure (1/√(e^3) < x < √(e^3)) & (x > e^3) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (insieme vuoto)
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* c & d ≡
≡ ((x < - 1/√(e^3)) oppure (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) oppure (x > √(e^3))) & (- e^3 < x < e^3) ≡
≡ (x < - 1/√(e^3)) & (- e^3 < x < e^3) oppure (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) & (- e^3 < x < e^3) oppure (x > √(e^3)) & (- e^3 < x < e^3) ≡
≡ (- e^3 < x < - 1/√(e^3)) oppure (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) oppure (√(e^3) < x < e^3)
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CONCLUSIONE
695) ((ln(x^2))^2 - 9)/(3 - ln(|x|)) > 0 ≡
≡ (- 3 < ln(x^2) < 3) & (|x| > e^3) oppure ((ln(x^2))^2 > 9) & (|x| < e^3) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (- e^3 < x < - 1/√(e^3)) oppure (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) oppure (√(e^3) < x < e^3) ≡
≡ (- e^3 < x < - 1/√(e^3)) oppure (- 1/√(e^3) < x < 1/√(e^3)) oppure (√(e^3) < x < e^3)
per x non in {- e^3, 0, e^3}