[Risolto] Disequazione logaritmica n. 686

La disequazione
686) (4 - log(2, x))*log(2, |x|)/log(2, x - 2) >= 0
è definita per x non in {0, 2, 3}: x in {0, 2} annullerebbe un argomento, x = 3 un denominatore.
Per avere valori reali, come richiesto dal ">", occorre anche avere argomenti positivi: x > 2.
Quindi il primo membro esiste reale per (x > 2) & (x != 3).
---------------
A) ((4 - log(2, x))*log(2, |x|)/log(2, x - 2) = 0) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ ((4 = log(2, x)) oppure (log(2, |x|) = 0)) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ ((x = 16) oppure (x = ± 1)) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ (x = 16) & (x > 2) & (x != 3) oppure (x = ± 1) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ (x = 16) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x = 16
---------------
B) ((4 - log(2, x))*log(2, |x|)/log(2, x - 2) > 0) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ ((4 - log(2, x))*log(2, |x|)*log(2, x - 2) > 0) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ (3 < x < 16) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ 3 < x < 16
NB: v. infra, sub "Dettagli".
---------------
C) ((4 - log(2, x))*log(2, |x|)/log(2, x - 2) >= 0) & (x > 2) & (x != 3) ≡
≡ (x = 16) oppure (3 < x < 16) ≡
≡ 3 < x <= 16
==============================
DETTAGLI
La disequazione
(4 - log(2, x))*log(2, |x|)*log(2, x - 2) > 0
è vera là dove è positivo il prodotto dei tre fattori ossia dove nessun fattore è nullo ed è pari il numero di quelli negativi: zero o due.
* a*b*c > 0 ≡
≡ (a > 0) & (b > 0) & (c > 0)
oppure (a < 0) & (b < 0) & (c > 0)
oppure (a < 0) & (b > 0) & (c < 0)
oppure (a > 0) & (b < 0) & (c < 0)
---------------
* 4 - log(2, x) < 0 ≡ x > 16
* 4 - log(2, x) > 0 ≡ 0 < x < 16
---------------
* log(2, |x|) < 0 ≡ (|x| < 1) & (x != 0)
* log(2, |x|) > 0 ≡ |x| > 1
---------------
* log(2, x - 2) < 0 ≡ 2 < x < 3
* log(2, x - 2) > 0 ≡ x > 3
---------------
NOTA
Ciascuno dei sei risultati dev'essere congiunto con "(x > 2) & (x != 3)".