Ero certo d'averti indicato un metodo generale nella mia risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/131204/
dell'altrieri (nu stierzu), ma evidentemente avrei dovuto commentarlo un po' di più che soltanto con "trasformando le disequazioni complesse in sistemi di disequazioni più semplici"; vedo di rimediare.
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Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0,
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
dove
* "≡" è l'operatore infisso di equivalenza
* "&" è l'operatore infisso di intersezione
* "oppure" è l'operatore infisso di unione
* "definita per D(x) != 0" ≡ "indefinita per D(x) = 0"
quindi
1) "la forma alternativa (a-6) (x+9) > 0" è SCORRETTA per incompletezza, mancando dell'intersezione con la clausola di definizione; la forma alternativa corretta è "((a - 6)*(x + 9) > 0) & (x != - 9)";
2) se D(x) = D(x, k) è parametrico ci saranno da escludere, oltre a valori di x, anche valori del parametro che così rientrano nella distinzione di casi riassuntiva dei risultati ("la discussione richiesta del parametro").
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Questa è la procedura più generale possibile (corretta per definizione), quindi se hai scritto "non mi sembra la procedura corretta" o t'è scappato a tua insaputa o, più probabilmente, non l'hai applicata con sufficiente pazienza: avrai preso qualche scorciatoia nei passaggi e poi non ti sei ritrovato coi risultati.
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591) f(x, a) = (a - 6)/(x + 9) > 0 ≡
≡ ((x + 9 < 0) & (a - 6 < 0)) oppure ((x + 9 > 0) & (a - 6 > 0)) ≡
≡ ((x < - 9) & (a < 6)) oppure ((x > - 9) & (a > 6))
Distinzione di casi
* se a < 6: f(x, a) > 0 per x < - 9
* se a = 6: f(x, a) = 0 ∀ x ∈ R e quindi non è positiva per alcun valore di x
* se a > 6: f(x, a) > 0 per x > - 9
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592) f(x, a) = (5 - a)/(a*x) >= 0 ≡
≡ ((5 - a)/(a*x) = 0) oppure ((5 - a)/(a*x) > 0) ≡
≡ (a = 5) oppure ((a*x < 0) & (5 - a < 0)) oppure ((a*x > 0) & (5 - a > 0)) ≡
≡ (a = 5) oppure (a < 0) & (x > 0) & (a > 5) oppure (a > 0) & (x < 0) & (a > 5) oppure (a < 0) & (x < 0) & (a < 5) oppure (a > 0) & (x > 0) & (a < 5) ≡
≡ (a = 5) oppure (insieme vuoto) oppure (a > 5) & (x < 0) oppure (a < 0) & (x < 0) oppure (x > 0) & (0 < a < 5) ≡
≡ (a = 5) oppure (a > 5) & (x < 0) oppure (a < 0) & (x < 0) oppure (x > 0) & (0 < a < 5)
Distinzione di casi
* se a < 0: f(x, a) > 0 per x < 0
* se a = 0: f(x, a) è indefinita e quindi è insensato chiederne il segno
* se 0 < a < 5: f(x, a) > 0 per x > 0
* se a = 5: f(x, a) = 0 ∀ x ∈ R
* se a > 5: f(x, a) > 0 per x < 0
