Qualcuno può aiutarmi a capire perché il risultato è solo -1<x<1 e quindi perché “il denominatore è sempre positivo” e non si sviluppa come abbiamo fatto per il numeratore?
Qualcuno può aiutarmi a capire perché il risultato è solo -1<x<1 e quindi perché “il denominatore è sempre positivo” e non si sviluppa come abbiamo fatto per il numeratore?
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Livello 0
spero sia chiaro
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Livello 1
Il denominatore non è sempre positivo ma lo è una volta poste le codizioni di esistenza del radicando (argomento >=0) e del denominatore (den=/=0). Poste tali condizioni si arriva a
$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$
Poste queste condizioni, è possibile eliminare il denominatore in quanto non incide sul segno della funzione e si valuta solo l'andamento del numeratore tenendo conto delle limitazioni sulla x derivate dallo studio del denominatore.
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Livello 5
@lorenzo_belometti grazie per la risposta però non ho capito perché il denominatore non incide sul segno della funzione
Per vedere il segno di una disequazione si valutano separatamente il numeratore ed il denominatore e poi si mettono insieme i risultati con la regola dei segni.
Si inzia con il denominatore per valutare esistenza della funzione stessa. In generale, il denominatore deve essere diverso da zero. Ma essendoci una radice, serve anche la condizione di esistenza del radicando che deve essere maggiore o uguale a zero. Mettendo insieme queste condizioni si trova quello scritto nella risposta sopra.
La condizione di esistenza del denominatore è già di fatto la valutazione di quando esso sia maggiore di zero. Per la regola dei segni, un fattore sempre positivo non incide sul segno finale.
Quindi per valutare se la funzione sia maggiore di zero non serve tener conto del denominatore in quanto sempre positivo.
In più, essendo il denominatore una quantità sempre maggiore e mai uguale a zero, puoi portarla a destra della disequazione ed eliminarla senza cambiare il segno.
$\sqrt{2 -x^2} -1>0$
A sistema con
$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$