Disequazione irrazionale

Per avere il radicale positivo basta che lo sia il radicando 

(x^2 - 1)/(x^3 + 8) > 0

(x - 1)(x + 1)/((x + 2)(x^2 - 2x + 4)) > 0

Numeratore   N > 0     per x < - 1 e x > 1

denominatore D > 0     per x > -2 

                       -2   -1          1

N ++++++++++++---------++++++++++++++

D -----------------++++++++++++++++++++++

N/D --------------+++--------+++++++++++++++

-2 < x < - 1    V    x > 1

"Qualcuno mi saprebbe dire se è giusto come ho fatto l’esercizio ? n 318"
Il tuo svolgimento è CORRETTO, MA INCOMPLETO se lo pensi come è scritto
* <funzione della variabile reale x> <operatore> <zero>
in quanto l'hai svolto pensandolo come NON è scritto
* <funzione REALE della variabile reale x> <operatore> <zero>
condizione restrittiva facilitante che, non essendo esplicitamente dichiarata nel testo, non è legittimo assumere arbitrariamente.
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Una radice d'indice pari non è negativa in nessun caso; è nulla se il radicando è zero; è immaginaria positiva se il radicando è negativo; è reale positiva se il radicando è positivo.
Quindi
318) √((x^2 - 1)/(x^3 + 8)) =
= √((x + 1)*(x - 1)/((x + 2)*((x - 1)^2 + 3)))
definita per x != - 2, nulla per x = ± 1, risulta maggiore di zero se è solo se
* (x + 1)*(x - 1)/(x + 2) != 0
e, distinguendo,
* per (x < - 2) oppure per (- 1 < x < 1) è immaginaria positiva
* per (- 2 < x < - 1) oppure per (x > 1) è reale positiva