Buon sabato pomeriggio a tutti; chiedo gentilmente il vostro aiuto per la soluzione della disequazione esponenziale fratta allegata alla presente. Poiché la trovo molto complicata, gradirei cortesemente la spiegazione di tutti i passaggi sia al numeratore che al denominatore. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno rispondermi.
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Livello 1
Useremo la griglia dei segni, allo scopo determiniamo il segno dei 3 fattori. (num; 1° den; 2° den)
1. Num. $2e^{3x} - 9 e^{2x} + e^x+12 $ Determiniamo gli zeri e di seguito il segno.
Poniamo $ t = e^x \; ⇒ \; 2t^3-9t^2+t+12 = 0$
Per il teorema di Ruffini (credo) se il polinomio ammette soluzioni razionali allora saranno divisori del termine noto diviso i divisori del coefficiente del termine con il grado più alto. A questo punto non rimane che fare le prove per giungere al risultato
a cui corrispondono:
2. 1° den. $e^\sqrt{2x+3}-e^x$
Il fattore sarà positivo se
$ \sqrt{2x+3} > x $ questa è una disequazione trascendente che equivale al sistema
i) $ \begin{cases} x < 0 \\ 2x+3 \ge 0 \end{cases} $ la cui soluzione è $-\frac{3}{2} \le x \lt 0$
ii) $ \begin{cases} x \ge 0 \\ 2x+3 \gt x^2 \end{cases} $ la cui soluzione è $ 0 \le x \lt 3$
Il 1° den è positivo nell'intervallo unione dei due precedenti cioè $-\frac{3}{2} \le x \lt 3$
3. 2° den. $ e^{2x}-e^x-2$
Poniamo $ t = e^x \; ⇒ \; t^2-t-2 = 0$
Che ammette due soluzioni:
Il fattore 2° den. è positivo per x > ln(2)
4. Passiamo alla griglia
__-3/2________ln(3/2)______ln(2)_____ln(4)_____3____
++++++++++++0--------------------------0+++++++++ Num.
-----++++++++++++++++++++++++++++++X------ 1° den.
-------------------------------------X++++++++++++++++ 2° den.
++-----------------0++++++++X-----------0++++X------- Segno disequazione
La disequazione è verificata per le x che soddisfano
$ -\frac{3}{2} \le x \le ln(\frac{3}{2}) \quad \lor \quad ln(2) \lt x \le ln(4) \quad \lor \quad x \gt 3 $
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Livello 6
Ciao ti ringrazio per la risposta veramente chiara ed esaustiva. Hai spiegato molto bene tutti i passaggi. Il punto che non riuscivo a risolvere era quello della disequazione irrazionale (avevo dimenticato i passaggi che portano alla soluzione). Ti auguro una buona serata
👍
@cmc 👍👌👍+++
Ecco la soluzione.
Se mi permetti un commento, da insegnante trovo questo genere di esercizi piuttosto inutile: sono molto complicati, ma in un modo che non aiuta più di tanto la comprensione concettuale dello studente (c'è troppa "carne al fuoco"). Inoltre, quando mai nella vita reale uno si troverà davanti una disequazione del genere?
3
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Livello 0
@lorenzoguerra Da ex insegnante mi permetto di fare una chiosa al tuo commento.
Capisco bene la tua osservazione: esercizi molto articolati possono risultare meno immediati dal punto di vista didattico e rischiano di sovraccaricare lo studente se proposti troppo presto. Allo stesso tempo, credo che, inseriti nel momento giusto del percorso, possano offrire un’occasione utile per mettere insieme competenze diverse e sviluppare una visione più organica della materia.
Riguardo alla tua osservazione sulla vita reale, è vero che nessuno si troverà ad affrontare una disequazione esponenziale fuori dalla scuola. Tuttavia, il valore formativo non sta tanto nel tipo di problema, quanto nell’abituarsi a gestire situazioni non immediate, a mantenere il controllo dei passaggi, a scegliere una strategia. In questo senso, un esercizio un po’ più complesso può essere una metafora efficace: la matematica diventa un terreno sicuro dove allenare le stesse abilità che serviranno poi di fronte ad altre difficoltà, quelle sì molto reali.
Forse, quindi, non si tratta di evitare esercizi complessi, ma di proporli nel momento opportuno, così che la loro difficoltà diventi un’opportunità e non un ostacolo.
Ciao ti ringrazio molto per la soluzione che mi ha permesso di comprendere bene lo svolgimento dell'esercizio. Ti auguro una buona serata
@lorenzoguerra 👍👌👍+++
