Consideriamo la conservazione della quantità di moto, che va considerata nelle due componenti orizzontale e verticale.
Per comodità scomponiamo la velocità iniziale della massa nelle due componenti:
$ v = (v_x, v_y) = (vsin\theta, vcos\theta) = (5.2, 3) m/s$
Nota che dopo l'urto la pallina ha solo velocità orizzontale:
$ v' = (v', 0)$
e l'asta comincia a ruotare con velocità u diretta verso il basso:
$ u = (0, u)$
dunque per la conservazione della quantità di moto lungo le due componenti abbiamo:
- Lungo l'asse x:
$ mv_x = mv'$ -> $ v_x = v' = 5.2 m/s$
- Lungo l'asse y, la quantità di moto:
$ p_y=mv_y = 0.3 kg m/s$
genera un momento angolare
$ L = r \times p_y = \frac{L}{3} * p_y = \frac{0.9}{3}*0.3 = 0.09 kg m^2/s$
ho omesso il seno dell'angolo in quanto la $p_y$ è perpendicolare all'asta.
Nota inoltre che la quantità di moto della massa m lungo y è nulla, quindi tutta la quantità di moto iniziale $p_y$ contribuisce alla rotazione.
Sapendo che
$ L = I \omega$
Per trovare il momento di inerzia, usiamo il teorema di Huygens-Steiner:
$ I = I_{CM} + Md^2$
dove per un'asta $I_{CM}=1/12 Ml^2$ se sospesa dal centro, ma noi vogliamo considerare il momento ad una distanza $d=\frac{l}{2}-\frac{l}{3}= \frac{l}{6}$ dal centro (ho chiamato l la lunghezza dell'asta per distinguerla dal momento angolare L) quindi:
$ I = \frac{1}{12} Ml^2 + \frac{1}{36} Ml^2 = \frac{Ml^2}{9}$
quindi:
$ L = \frac{Ml^2}{9} \omega$
$ \omega = \frac{9L}{Ml^2} = \frac{9*0.09}{0.5*0.9} = 1.8 rad/s$
Noemi
