123) Disegna un triangolo ABC e traccia da A la retta che forma con il lato AB un angolo congruente ad ACB e che interseca il lato BC nel punto P. Dimostra che AB è medio proporzionale tra BP e BC.
160) Due triangoli simili hanno due lati omologhi lunghi rispettivamente 8cm e 6cm. Determina il rapporto tra i perimetri e il rapporto tra le aree dei due triangoli.
187) in una circonferenza di diametro AB traccia la tangente alla circonferenza passante per A. Da un punto C della circonferenza confuciana la perpendicolare alla tangente e chiama H il piede della perpendicolare. Dimostra che la corda AC è media proporzionale tra il diametro e il segmento CH.
123) Disegna un triangolo ABC e traccia da A la retta che forma con il lato AB un angolo congruente ad ACB e che interseca il lato BC nel punto P. Dimostra che AB è medio proporzionale tra BP e BC.
Consideriamo il triangolo $ABC$, esso ha angoli $\beta$, $\gamma$, $\alpha$ e la loro somma dà 180°
Consideriamo invece il triangolo $APB$ esso ha: l'angolo in $B$, $\beta$, in comune con il triangolo $ABC$, l'angolo in $A$, $\alpha_1$ congruente per ipotesi all'angolo in $C$ del triangolo $ABC$, cioè $\gamma$. Allora l'angolo in $P$ ($APB$) vale:
$180-\beta-\alpha_1 = 180-\beta-\gamma = \alpha$
cioè è congruente all'angolo $ CAB$.
Quindi i triangoli $ABC$ e $APB$ sono simili perché hanno angoli congruenti.
Di conseguenza possiamo usare i risultati relativi ai triangoli simili:
mettendo in relazione di proporzionalità i lati corrispondenti abbiamo:
$AB: PB = BC : AB $ infatti, disegnando separatamente i due triangoli otterremmo una figura così:
160) Nei triangoli simili perimetri mantengono lo stesso rapporto di proporzionalità che vi è tra i lati, infatti:
Se Triangolo 1 ha lati $a, b, c$ e Triangolo 2 ha lati $ka, kb, kc$ dove $k$ è la costante di proporzionalità, il perimetro di Triangolo 1 è $a+b+c$ mentre quello di Triangolo 2 è $ka+kb+kc = k(a+b+c)=k 2p_{Triangolo1}$
Quindi, dato che il rapporto di proporzionalità tra i lati è $ \frac{8}{6} = \frac43$, anche quello tra i perimetri sarà $\frac43$
Per quanto riguarda l'area, invece, Se triangolo1 ha area $\frac{b_1 \cdot h_1}{2}$ e il triangolo 2, avendo base = $kb_1$ e altezza $=kh_1$, abbiamo:
Area 2 = $\frac{kb_1 \cdot kh_1}{2} = k^2 \frac{b_1 \cdot h_1}{2} $ quindi la costante di proporzionalità viene elevata al quadrato, quindi in questo caso sarà
$\frac43 ^2 = \frac{16}{9} $
187)
Cominciamo ricordando che un triangolo inscritto che ha come lato un diametro è rettangolo, e l'angolo retto si trova alla circonferenza (quindi nel nostro caso $ABC$ è rettangolo in $C$). Anche $CHA$ è rettangolo per costruzione. Quindi i due triangoli hanno sicuramente un angolo congruente (quello retto).
Ricordiamo anche che la tangente è perpendicolare al raggio della circonferenza, quindi anche al diametro. Quindi l'angolo $HAB$ è di $90°$.
Dato che le rette $HC$ e $AB$ formano un angolo retto con la stessa retta (cioè la tangente), devono necessariamente essere parallele (perché possiamo considerarle come due rette tagliate dalla trasversale (la tangente) e mostrare così che gli angoli alterni interni sono congruenti (o quelli corrispondenti, o qualunque coppia tu voglia, dato che formano 4 angoli retti sia nell'intersezione $CH$ con la tangente sia nell'intersezione $AB$ con la tangente).
Dato che $CH$ e $AB$ sono paralleli, consideriamo queste due rette tagliate dalla trasversale $CA$: essi formano angoli alterni interni congruenti, quindi $ACH$ e $CAB$ sono congruenti perché alterni interni.
Ora, consideriando ancora i due triangoli $CHA$ e $ABC$, essi hanno: un angolo retto (quindi congruente), un altro angolo congruente ($ACH$ e $CAB$) di conseguenza avranno anche il terzo angolo congruente per differenza di angoli congruenti: come prima, possiamo fare $180-90- ACH = 180-90-CAB$ e ottenere il terzo angolo, che ha lo stesso valore per entrambi.
Dimostreremo che i due triangoli ABC e ACH sono simili per poi dimostrare la tesi.
PROCEDIMENTO
ABC è un triangolo rettangolo in C, con ipotenusa AB, perché un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo.
ACH è un triangolo rettangolo i H, dato che CH è la retta perpendicolare alla tangente del punto A (come richiesto dal problema).
CH ed AB sono due rette parallele perché entrambi sono perpendicolari alla tengente. Esse sono tagliate dalla trasversale AC, quindi (per il teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale) $\hat{ACB}=\hat{CAH}$.
Necessariamente, anche gli altri angoli sono ordinatamente congruenti, perché la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°.
Quindi i triangoli ABC e ACH sono simili per il 1º criterio in quanto hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti.
Per cui, il rapporto tra i lati è sempre costante, cioè:
