Dato un triangolo ABC,isoscele sulla base AB,prolunga i lati obliqui AC e BC, rispettivamente dalla parte di A e di B di due segmenti AP e BQ tali che AP=BQ .DIMOSTRA CHE IL PUNTO DI INTERSEZIONE DI AQ e di PB appartiene alla bisettrice C.
dato il triangolo equilatero ABC considera sui suoi lati AB, BC,AC rispettivamente i punti P, Q, R tali che AP=BQ=CR.dimostra che il triangolo PQR è equilatero
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Livello 0
In teoria dovrebbe essere previsto un solo problema in ogni post.
Essendo la prima volta, li svolgo entrambi.
1) Tracciata la figura, consideriamo i triangoli APB e ABQ, essi presentano
AB in comune
AP = BQ per ipotesi
ABQ^ = P^ - B^ = P^ - A^ = PAB^
e sono allora congruenti per il I Criterio - pertanto
BAQ^ = ABP^ in quanto elementi omologhi
il triangolo AEB é isoscele per il Teorema inverso e così
AE = EB.
Passiamo successivamente ad analizzare ACE e ECB - in essi si riscontra
CE in comune
AE = EB ( precedentemente dimostrato )
CBE^ = B^ + ABP^ = A^ + BAQ^ = CAE^
Così, a norma del I Criterio, sono anch'essi congruenti e in particolare
ACE^ = ECB^ che esprime la tesi.
2) Tracciata la figura, la tesi é PQ = PR = QR.
I tre triangoli APR, QPB, CQR sono tutti e tre congruenti in base al
primo criterio, in quanto presentano :
{ AP = BQ = CR per ipotesi
{ A^ = B^ = C^ = 60°, per ipotesi e proprietà dei triangoli
{ AR = PB = CQ perché differenze di segmenti congruenti :
AR = AC - CR, PB = AB - AP, CQ = BC - BQ
Ora PR, PQ e RQ - essendo ciascuno nel suo triangolo opposto all'angolo
di 60° - sono elementi omologhi e quindi congruenti.
Segue pertanto la tesi.
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Livello 7
