$A B C$ e $D B C$ sono due distinti triangoli, tra loro congruenti, costruiti sulla stessa base $B C$, con i ertici $A$ e $D$ dalla stessa parte rispetto alla base. Indicati con $P$ e $Q$ rispettivamente i punti di intersezione tra i lati $A C$ e $B D$ e i prolungamenti dei lati $A B$ e $D C$, dimostra che:
a. $P B \cong P C$;
b. $P Q$ è bisettrice dell' angolo $B \widehat{Q} C$.
Salve, qualcuno può gentilmente aiutarmi con questa dimostrazione di geometria sui triangoli? Grazie anticipatamente
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Livello 1
Tracciata la figura
dobbiamo dimostrare che a) PB = PC, b) BQP^ = PQC^.
Prima parte.
Nei triangoli APB e DPC ( laterali inferiori )
osserviamo che
{ BAC^ = BDC^ congruenti perché omologhi in ABC e BDC ( congruenti per Hp )
{ APB^ = DPC^ opposti al vertice
{ ABP^ = DCP^ per differenza a 180°
{ AB = DC Hp
per cui essi sono congruenti per il II Criterio e in particolare PB = PC.
Seconda parte.
Consideriamo ora i triangoli QBD e QAC (superiori )
Anch'essi risultano congruenti per il II Criterio in quanto
{ QAC^ ( = QAP^) = QDB^ = (QDP^) perché adiacenti agli angoli congruenti
(BAC^ e BDC^)
{ AP = PD conseguenza della dimostrazione precedente
{ AC = BD omologhi in triangoli congruenti per Hp
{ QBD^ = QCA^ perché di fatto si chiamano anche ABP^ e DCP^
Terza parte e conclusione.
Come elementi omologhi
AQ = QD
per cui QB = QC in quanto somme di segmenti congruenti
Per tanto nei triangoli QPB e QPC risulta :
{ QP é in comune
{ QB = QC dimostrato
{ PB = PC dimostrato prima parte
e allora essi sono congruenti per il III Criterio.
In particolare gli angoli opposti a PB e PC sono congruenti
e quindi BQP^ = PQC^ che esprime la tesi.
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Livello 7
@eidosm Grazie mille 🙏🏻 Non riesco a svolgere però il disegno perché non mi ritrovo con i punti di intersezione P e Q
Come dice la traccia, ho messo Q in cima a tutto e P dove si incontrano AC e BD.
@eidosm Aaah okok ,avevo interpretato male la traccia. Ecco perché non mi ritrovavo. Grazie ancora!
