[Risolto] Dimostrazione teoria cinetica dei gas senza velocità quadratica media?

La pressione è definita come:

$ p = \frac{F}{A}$

Cerchiamo di esprimere la forza in funzione della velocità quadratica media.

Sappiamo che nell'urto di una molecola contro la parete del recipiente, la variazione di quantità di moto è data dal teorema dell'impulso:

$ \Delta p = F \Delta t$

dato che la molecola di massa $m$ urta contro la parete a velocità $v$ e torna indietro a velocità $-v$ abbiamo:

$ \Delta p = p_f - p_i = -mv -(mv) = -2mv$

quindi possiamo scrivere che:

$ F \Delta t = -2mv$

D'altra parte il tempo che intercorre tra un urto e l'altro è quello necessario per attraversare tutta la lunghezza del recipiente $L$, urtare e tornare indietro, percorrendo in tutto uno spazio pari a $2L$ con velocità $v$. Dato che il tempo è spazio/velocità abbiamo:

$ F (\frac{2L}{v}) = -2mv$

da cui:

$ F = 2mv * \frac{v}{2L} = \frac{mv^2}{L}$

Questa è la forza esercitata da una sola molecola, quindi per calcolare la forza totale moltiplichiamo per il numero di molecole $N$:

$ F_{tot} = N \frac{mv^2}{L}$

dato che possiamo supporre che la velocità quadratica media sia uguale sulle tre direzioni $v_x$, $v_y$, $v_z$, possiamo scrivere anche che $v_x^2 = 1/3 v_{qm}^2$:

$ F_{tot} = N \frac{mv_{qm}^2}{3L}$

ora sostituiamo la forza trovata nell'espressione della pressione:

$ p = \frac{F_{tot}}{A} = \frac{N mv_{qm}^2}{3AL}$

moltiplicando l'area della superficie $A$ per la lunghezza $L$ del recipiente, otteniamo il volume:

$ p = \frac{N mv_{qm}^2}{3V}$

Ora non ci resta che esprimere diversamente il prodotto $N*m$: se $m$ è la massa della singola molecola e $N$ il numero di molecole $Nm$ è la massa totale. Questa può essere trovata analogamente moltiplicando il numero di moli $n (mol)$ per la massa molare $MM (kg/mol)$ per ottenere la massa molare.

Quindi abbiamo

$ p = \frac{n*MM v_{qm}^2}{3V}$

 

Noemi