Ci sono tre numeri - interi positivi - che, addizionati o moltiplicati, danno lo stesso risultato.
Che (1,2,3) soddisfino questo enunciato é ovvio, ma non lo é che siano gli unici.
Supponiamo di non sapere che sono consecutivi.
Sia
a + b + c = a b c
possiamo immaginarli scritti in ordine crescente, non cambia nulla - allora
b + c = a (b c - 1 )
Se a é maggiore di 1
deve essere b + c > bc - 1
bc - b < c + 1
b (c - 1) < c + 1
b < (c + 1)/(c - 1) essendo c > 1
b < 1 + 2/(c-1).
Se a é almeno 2, b é almeno 3 e c almeno 4
ma contemporaneamente b < 1 + 2/(4 - 1) = 5/3 < 2
Questa contraddizione ci obbliga ad ammettere che a é 1.
Detto questo, b + c = bc - 1
che significa bc - c = b + 1
ovvero c (b - 1) = (b + 1)
ed essendo b > 1
c = (b+1)/(b-1) = 1 + 2/(b-1)
Ora b deve essere almeno 2
se b = 2 allora c = 1 + 2 = 3 (a,b,c sono 1,2,3)
se b = 3 allora c = 1 + 1 = 2 (a,b,c = 1,3,2)
non sono più in ordine crescente ma non cambia nulla
se b é maggiore di 3 c non é intero perché
per b = 4, c = 1 + 2/3
e poi sarà sempre c compreso fra 1 e 2 e quindi non intero.
Segnalatemi gli errori se ci sono. Grazie.
