[Risolto] Dimostrazione numeri complessi

Condizione necessaria (e non sufficiente) affinché due complessi siano eguali è che abbiano lo stesso modulo.
Due complessi coniugati hanno lo stesso modulo.
Il prodotto dei moduli di due complessi reciproci è uno e la somma delle loro anomalie è zero.
Quindi il coniugato del reciproco di z può essere eguale a z se e solo se hanno entrambi modulo uno.
Che poi lo sia effettivamente dipende dalla definizione di inverso (z' ≡ z coniugato)
* 1/z = z'/|z|^2
che è una riscrittura di quella di modulo
* |z|^2 = ρ^2 = z*z'
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Nel piano di Argand-Gauss sia data la retta
* z = (k - 1) + i*(k - 2) ≡ (y = x - 1) & (k = x + 1)
che interseca il luogo dei complessi di modulo uno
* x^2 + y^2 = 1
nelle soluzioni del sistema
* (y = x - 1) & (x^2 + y^2 = 1) ≡ (0, - 1) oppure (1, 0)
rappresentanti dei valori complessi
* z1 = 0 - i
* z2 = 1 + i*0
che rispetto all'originale formulazione «Trova per quali valori reali di x il numero z = (x - 1) + i*(x - 2) verifica la condizione precedente.» vuol dire
* x1 = 0 + 1 = 1
* x2 = 1 + 1 = 2

z = a + b·i

calcolo il reciproco ed ottengo:

z^(-1) = (a + b·i)^(-1)-----> z^(-1) = a/(a^2 + b^2) - i·b/(a^2 + b^2)

Quindi considero il numero complesso coniugato:

a/(a^2 + b^2) + i·b/(a^2 + b^2)

Per cui deve essere:

a^2 + b^2 = 1

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Dato il numero complesso:

z = (x - 1) + (x - 2)·i

per avere uno che risponda ai requisiti richiesti si deve avere:

(x - 1)^2 + (x - 2)^2 = 1

(x^2 - 2·x + 1) + (x^2 - 4·x + 4) = 1

2·x^2 - 6·x + 4 = 0----> 2·(x - 1)·(x - 2) = 0

quindi: x = 2 ∨ x = 1