Dimostrazione con la parabola

Coefficiente_angolare della retta tangente:

Utilizziamo le formule di sdoppiamento. L'equazione della retta tangente è:

(y+y0) /2 = ax0*x

Quindi:

m= 2*a*x0

Coefficiente_angolare della retta contenente la base del triangolo isoscele (retta passante per il fuoco F e per il piede della perpendicolare H condotta dal punto P sulla direttrice) :

F(0; 1/4a)

H(x0 ; - 1/4a)

Quindi:

m1= - 1/(2*a*x0)

I coefficienti angolari risultano antireciproci. Le rette sono perpendicolari. Sappiamo che in un triangolo isoscele l'altezza relativa alla base è anche mediana e BISETTRICE 

Intanto disegno di riferimento:

Congiungo B con F (vedi figura). Per dimostrare che la tangente è bisettrice dell'angolo in A, è sufficiente dimostrare che, comunque preso il punto A sulla parabola, l'intersezione della tangente con l'asse delle x è tale per cui la base FB del triangolo isoscele FAB viene ad essere divisa dai segmenti uguali FC=BC in tal caso si sa che la mediana AC è anche bisettrice.

y = a·x^2 un suo punto ha coordinate: [α, a·α^2]

con le formule di sdoppiamento:

(y + a·α^2)/2 = a·x·α------> y = 2·a·α·x - a·α^2

ho determinato la retta tangente.

Metto a sistema:

{y = 2·a·α·x - a·α^2

{y = 0

si ottiene: [x = α/2 ∧ y = 0]

Risultato che indica la base divisa a metà dalla tangente. Quindi la tangente è mediana, quindi anche bisettrice.

La parabola Γ di equazione
* Γ ≡ y = a*x^2
ha pendenza
* m(x) = 2*a*x
ed ha per asse di simmetria l'asse y e per vertice V l'origine; quindi ha fuoco F(0, k) e la direttrice è la retta
* d ≡ y = - k
dove
* |k| = f = 1/(4*|a|)
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Riformulo (soprattutto per rinominare P → T e usare il nome P per "piede")
Dimostrare che, dato su Γ un qualsiasi punto T di tangenza per la retta t, costruita la congiungente FT e abbassata da T la normale a d fino al piede P, nel triangolo FPT la t è bisettrice dell'angolo interno al vertice T.
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"Se riuscite risolvetelo geometricamente" sì, posso! Ma è un po' contorto.
Per definizione T è equidistante da d e da F, quindi |FT| = |TP| e T è sull'asse di FP che perciò è la retta dell'altezza/mediana/bisettrice MT del triangolo isoscele FPT rispetto alla base FP di punto medio M.
Nell'ipotesi che la retta MT, asse di FP, sechi Γ anche in un secondo punto T' distinto da T si deve avere
* |FT'| = |T'P| perché T' è sull'asse di FP
* |FT'| = |T'd| perché T' è Γ
ma |T'd| = |T'P| cioè T e T' dovrebbero essere sulla stessa normale a d che, in quanto tale, è parallela all'asse e pertanto ha una sola intersezione con Γ.
Se ne conclude che T ≡ T' e che l'asse di FP è proprio la tangente t.
QED
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NOTA: la dimostrazione algebrica sarebbe stata meno macchinosa.