Avrei bisogno di aiuto in questo esercizio/dimostrazione. Sono riuscita a dimostra fare solo la chiusura delle operazioni (somma e prodotto). Dovrei verificare la proprietà commutativa, associativa (sia di somma che prodotto), esistenza vettore nullo e vettore opposto. Non riesco a farlo
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Livello 1
Problema:
Decidere se il seguente sottoinsieme delle funzioni a valori reali sia uno spazio vettoriale: $\{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} : f(-x)=f(x) \ \ \forall x \in \mathbb{R} \}$.
Soluzione:
Bisogna verificare che il vettore nullo, la somma di vettori e il prodotto per scalare con un vettore appartengono a tale insieme.
Il vettore nullo in questo caso è $f \equiv 0$, ossia $f(x)=0$ per ogni $x$ reale, quindi $f(-x)=0=f(x)$.
Per comodità verifico insieme la seconda e la terza proprietà definendo $h=\lambda f + \mu g$, con $f,g$ nell'insieme e $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.
$h(-x)=\lambda f(-x) +\mu g(-x)$
$h(x)=\lambda f(x)+\mu g(x)$,
Poiché $f(x)=f(-x)$ e $g(x)=g(-x)$, dato che sono nell'insieme dato, vale l'uguaglianza $h(x)=h(-x)$.
Se ne deduce che l'insieme dato costituisce uno spazio vettoriale.
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Livello 6
