Dimostrazione

Problema:

Si dimostri il seguente lemma:

Sia $a_1x_1+...+a_nx_n=b$ un sistema lineare a $m$ equazioni ed $n$ incognite. Il sistema ammette soluzione se e solo se $b \in Span \{a_1,..., a_n\}$.

Soluzione:

Se il sistema ha $m$ equazioni significa che la matrice dei coefficienti sarà di dimensione $m \times n$. I coefficienti $a_i$ sono dunque la rappresentazione di vettori a $m$ componenti. 

Da un lato  (<=) si ha che $Span \{ a_i \}$ è definito come $\sum_{i=1}^n k_ia_i$, se $b$ è contenuto in esso si ottiene:

$b=\sum_{i=1}^nk_ia_i=k_1a_1+...+k_na_n=b$. Sostituendo $k_i=x_i$ si ottiene che esiste almeno una soluzione $(x_1,..., x_n)$ che soddisfa l'equazione. 

Dall'altro (=>) si ha che $a_1x_1+...+a_nx_n=b$ è combinazione lineare con $x_i \in \mathbb{R}$ di vettori $a_i$, il fatto che questa sia pari a un vettore $b$ implica che esiste un insieme $(x_1, ..., x_n) \in \mathbb{R}^n$ che soddisfa l'equazione. Notazionalmente $a_1x_1+...+a_nx_n=b \iff Span\{a_i\}=b \iff b \in Span \{a_i\}$.