Dimostrare che
$$
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2 \quad \forall n \geq 1
$$
Dimostrare che
$$
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2 \quad \forall n \geq 1
$$
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Livello 2
Per induzione
\[1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2 \quad \forall n \geq 1\]
\[1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{n^2} \Bigg|_{\substack{n = 1}} < 2\,,\]
quindi il passo base è verificato.
Assumiamo che
\[1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2\,.\]
Per gli assiomi di Peano, verificando
\[1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{(n + 1)^2} < 2\]
si verifica l'ipotesi induttiva; quindi, ponendo
\[S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2\]
\[S_{n+1} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{(n + 1)^2} < 2\,,\]
allora si può scrivere
\[S_n + \frac{1}{(n + 1)^2} < 2 + \frac{1}{(n + 1)^2} \implies S_n + \frac{1}{(n + 1)^2} < 2 \mid \frac{1}{(n + 1)^2} < 1\,.\]
Allora, per gli assiomi di Peano, $P(n) \implies P(n+1)\,$.
Formalmente, essa è la dimostrazione che la somma dei reciproci dei quadrati è minore di due:
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < 2\,.\]
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Livello 5
@enrico_bufacchi la barra dritta dopo il 2 nell’ultimo passaggio sarebbe il tale che?
Sì @Mathboy
La somma dei reciproci dei quadrati dei primi n numeri interi è minore di 2 per n≥1.
Questa serie è anche chiamata serie di Basilea e ha valore π^2/6 ≈ 1,6 che è minore di 2.
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Livello 3
La serie é a termini positivi e quindi é crescente.
Inoltre la sua somma é maggiorata da 1 + lim_u->+oo S_[1,u] 1/x^2 dx =
= 1 + lim_u->+oo [-1/x]_[1,u] = 1 + lim_u->+oo [1/x]_[u,1] =
= 1 + 1 - lim_u->+oo 1/u = 2 - 0 = 2
e la limitazione vale a maggior ragione per una somma incompleta.
Infatti a2 + ... + an < S_[1,n] a(x) dx
significa che a1 + a2 + ... + an < a1 + S_[1,n] a(x) dx < 1 + lim_n->oo S_[1,n] a(x) dx
da cui segue quanto scritto sopra.
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Livello 7
Ma mi pare banale!
Se la serie di 1/n^2 converge (è una serie notevole, risale ad Eulero ed è ben nota) a π^2/6 che vale meno di due, è ovvio che valgano meno di due anche le somme parziali.
Se proprio vuoi reinventare la ruota, fallo per induzione; ma è una scrittura sprecata, dedica lo stesso tempo a un esercizio un po' più significativo.
Vedi al link http://oeis.org/A002432
* 1/n^4 → π^4/90; 1/n^6 → π^6/945; ...
57804
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Genius I