Esercizio 1.21
Dimostrate che se a1,……,a(n) sono numeri positivi, con a1a2…..a(n)=1 si ha a1+a2+…..a(n) >=n
tecnicamente bisognerebbe dimostrare che questa proprietà è soddisfatta per un certo n tipo 1 e poi ipotizzando che p(n) sia vera allora lo è anche p(n+1).
sono bloccato non mi vengono idee.
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Livello 2
E' difficilissimo.
Se gli n + 1 numeri sono tutti 1 non c'é niente da dimostrare : la somma é n + 1 e vale l'uguaglianza.
Se invece non é così, ci saranno sicuramente due elementi uno maggiore e uno minore di 1, altrimenti
il prodotto sarebbe a sua volta minore ( o maggiore ) di 1.
Non si perde in generalità se tali due elementi sono gli ultimi, a_n e a_n+1.
Ad esempio an < 1 e a_n+1 > 1
Raggruppando in prodotto tali due elementi
a1 a2 ... a_n-1 (a_n a_n+1)
si hanno n numeri positivi il cui prodotto é 1.
Per ipotesi di induzione allora
a1 + a2 +... + a_n-1 + an a_n+1 >= n
da cui si trova subito
a1 + a2 + ... + an >= n + an - an a_n+1
a1 + .... + a_n+1 >= n +1 - 1 + an + a_n + 1 - an a_n+1
Sn+1 >= n + 1 - (1 - an) + a_n+1 (1 - an)
Sn+1 >= n + 1 + (1 - an) (a_n+1 - 1)
e l'ultimo prodotto é positivo ( o nullo se sono tutti 1 ) per cui segue
Sn+1 >= n + 1
e la tesi é provata.
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Livello 7
@eidosm grazie mille
Mi pare che sia solo un trucco verbale, un calembour.
Se il prodotto di k numeri positivi è uno e lo si moltiplica per un altro numero positivo tale che il prodotto resti uno, è ovvio che a(k + 1) = 1. E questo vale per ogni k > 1: dal terzo in poi sono tutti uni.
I primi due o sono uni anch'essi, e allora la somma vale n, oppure a(2) = 1/a(1) != 1 e la somma è maggiore di n perché
* (1 + d) + 1/(1 + d) = (d^2 + 2*d + 2)/(d + 1) > 2
per ogni d positivo.
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Genius I
@exprof grazie il ragionamento mi sembra giusto però avevo anche pensato che se prendo k numeri positivi tale che il loro prodotto è 1, poi se ne prendo k+1 allora non è detto che sono gli stessi numeri o no?
@Mathboy
E come no, se è detto!
Dimostrare per induzione vuol dire lavorare su una successione.
Se dici "prendo k numeri" e "ne prendo k+1" allora vuol dire che non hai chiaro il concetto di successione: vai a ripassare!
Non si prende mai più che "il numero successivo" (uno solo!) e quelli già presi sono immutabili.
@exprof io non l’ho interpretata così sinceramente. La consegna dice dimostrare che presi k numeri positivi siano soddisfatte tali condizioni, posso provare con k uguale a 1 o 2 e noto che il tutto è verificato. Devo però poi dimostrare che funziona anche se i k numeri sono 3 o 4 e così via. Quindi non la ragionerei come una successione anche perché dal libro che sto studiando prima si fa questo principio di induzione e dopo dopo si introducono le successioni.
