Differenzali, funzioni.

a.  Falsa. La derivata di una funzione dispari è pari mentre la nostra f'(x) è dispari.

b.  Falsa. La funzione derivata è definita in tutto ℝ e così sarà la funzione f(x) (proprietà  delle equazioni differenziali lineari) in questo caso nessun asintoto verticale.

Circa gli asintoti orizzontali le primitive sono della forma y(x) = ln(x^2+2) ( si tratta di un integrale immediato). Tali funzioni non ammettono asintoti orizzontali.

c.  Vera. 

i) La f'(x) è negativa in (-∞, 0) quindi f(x) è strettamente decrescente in (-∞, 0]

ii) La f'(x) è positiva in (0, +∞) quindi f(x) è strettamente crescente in [0, +∞)

d.  Falsa.

La derivata seconda f"(x) = $-\frac{2(x^2-2}{(x^2+2)^2}$

Dall'analisi del segno della derivata seconda emerge che vi sono due punti di flesso (x  = ±√2)

e.  Vera. 

Deriviamo $ y(x) = ln(\frac{1}{2} x^2 +1) $

y'(x) = \frac{2x}{x^2+2} O.K. coincide

Proviamo ora la condizione di Cauchy.

y(0) =  ln(1) = 0    O.K. anche per la condizione di Cauchy.