Di questo problema, come di ogni altro, ci sono tre possibili soluzioni.
1) La dimostrazione che è impossibile (zero risultati).
2) L'algoritmo che, generando tutti i risultati, lo dimostra indeterminato.
3) Un solo risultato e la dimostrazione della sua unicità.
Io, che ci penso su da un bel po' di tempo, mi accontenterei oltre che della soluzione uno anche di una pseudosoluzione due e mezza: una funzione che soddisfaccia ai requisiti anche senza dimostrazione di unicità né algoritmo generatore della famiglia.
Può mai essere che qui si trovi almeno uno fra voi che abbia le capacità che a me sono mancate? spero proprio di fare la figura del cretino "Ah, ma bastava ..." a favore di qualcuno che ne avrà gratitudine e non risentimento.
Anzi RINGRAZIO FIN D'ORA CHI MI FARA' FARE LA FIGURA DEL CRETINO.
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Cerco, se ne esiste almeno una,
* f: R → R ≡ y = f(x)
definita e monotòna crescente ovunque (o almeno per x >= L <= 0)
con
* f(0) = a <= 0
* f(b >= 0) = 0
* lim_(x → - ∞) f(x) = b <= a <= 0
* lim_(x → + ∞) f(x) = 1
e un flesso a pendenza positiva in x = c
* (c >= 0) & (f(c) > 0) & (f'(c) > 0) & (f''(c) = 0)
QUI FINISCONO LE SPECIFICAZIONI SEMPLICI (un'ogiva di qualche genere).
La specificazione complicata (per me, nel senso che non sono riuscito né a dimostrarne la contraddittorietà né a ottemperarvi!) è che sia
* d/dx (x*(1 - f(x))) = 1 - f(x) - x*f'(x)
monotòna crescente ovunque (o almeno per x <= d > c)
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Il mio obiettivo sarebbe una soluzione di tipo due, una famiglia di funzioni parametrata da
* {L, a, b, c, d}
ma sarei già ben felice di ricevere suggerimenti di qualsiasi genere.
