[Risolto] Determinare un’equazione di un’ellisse

@arianna_rossi

Se tu non conoscessi le formule di sdoppiamento procedi con il metodo classico seguente.

x^2/α + y^2/β = 1 con α = a^2 ; β = b^2

Riduci le due incognite di sopra imponendo il passaggio per [2, -1]

2^2/α + (-1)^2/β = 1----> 4/α + 1/β = 1

quindi: β = α/(α - 4)

Equazione si riduce a: x^2/α + y^2/(α/(α - 4)) = 1

che metti a sistema con la retta data:

{x^2/α + y^2·(α - 4)/α = 1

{y = x - 3

Quindi procedi per sostituzione:

x^2/α + (x - 3)^2·(α - 4)/α - 1 = 0

Arrivi quindi a scrivere:

(x^2·(α - 3) + 6·x·(4 - α) + 4·(2·α - 9))/α = 0

per cui deve essere:

x^2·(α - 3) + 6·x·(4 - α) + 4·(2·α - 9) = 0

condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(3·(4 - α))^2 - (α - 3)·(4·(2·α - 9)) = 0

(9·α^2 - 72·α + 144) - (8·α^2 - 60·α + 108) = 0

α^2 - 12·α + 36 = 0-----> (α - 6)^2 = 0

quindi: α = 6

e β = 6/(6 - 4)------> β = 3

equazione ellisse: x^2/6 + y^2/3 = 1

xo x /a^2 + yo y/b^2 = 1     ( sdoppiamento )

2 x / a^2 - y / b^2 = 1

deve riprodurre

x - y = 3

 

6x /a^2 - 3y/b^2 = 3

6/a^2 = 1 e 3/b^2 = 1

a^2 = 6 e b^2 = 3

 

x^2/6 + y^2/3 = 1