184 Trova l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse $y$, di eccentricità $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$, sapendo che passa $\operatorname{per}(1 ;-\sqrt{3})$.
$$
\left[\frac{x^2}{3}+\frac{2 y^2}{9}=1\right]
$$
185 Scrivi l'equazione dell'ellisse che nel suo punto di ascissa 1 ha per tangente la retta di equazione $x+6 \sqrt{2} y-9=0$
$$
\left[\frac{x^2}{9}+y^2=1\right]
$$
5
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Livello 0
Quale dei 2?
Adesso faccio solo il primo. Poi, se ho tempo e voglia vedrò il secondo.
Scrivo l'equazione nel seguente modo:
x^2/α + y^2/β = 1
ove ho posto:
α = a^2
β = b^2
γ = c^2 = β - α (i fuochi stanno sull'asse delle y)
ε = e^2 = γ/β
Quindi scrivo sotto sistema le due informazioni:
{ellisse passa per [1, - √3]
{eccentricità dell'ellisse
Il passaggio per il punto impone che:
1^2/α + (- √3)^2/β = 1-----> 1/α + 3/β = 1
quindi: α = β/(β - 3)
Poi l'eccentricità:
(√3/3)^2 = γ/β----> (√3/3)^2 = γ/(α + γ)
Quindi sistema:
{(√3/3)^2 = γ/(α + γ)
{α = (α + γ)/((α + γ) - 3)
che risolto fornisce: [α = 3 ∧ γ = 3/2]
ma β = 3·α/(α - 1) per cui:
β = 3·3/(3 - 1)-----> β = 9/2
x^2/3 + y^2/(9/2) = 1
x^2/3 + 2·y^2/9 = 1
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Genius III
@lucianop tutte é due
L'altro - con la formula dello sdoppiamento
xo x/a^2 + yo y/b^2 = 1
1 x/a^2 + yo y/b^2 = 1
9/a^2 x + 9 yo/b^2 y = 9
9/a^2 = 1
9 yo/b^2 = 6 rad 2
a^2 = 9
1 + 6 rad2 yo - 9 = 0
yo rad 2 = 8/6
yo = 2/3 rad 2
9*2/3 rad 2 * 1/b^2 = 6 rad 2
1/b^2 = 1
x^2/9 + y^2 = 1
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Livello 7
