[Risolto] determina per quali valori di a l’equazione x^2-2ax-2a+3 ha due soluzioni reali e distinte negative. [ a< -3]

Il trinomio (è un errore chiamarlo equazione senza "= 0" finale)
* x^2 - 2*a*x - 2*a + 3 = (x - a)^2 - (a + 1)^2 + 4 = (x - X1)*(x - X2)
ha discriminante
* Δ(a) = 4*(a + 3)*(a - 1)
e zeri
* X1 = a - √(a^2 + 2*a - 3)
* X2 = a + √(a^2 + 2*a - 3)
che sono reali, distinti e negativi se e solo se
* (Δ > 0) & (X2 < 0) ≡
≡ ((a + 3)*(a - 1) > 0) & (a + √(a^2 + 2*a - 3) < 0) ≡
≡ ((a < - 3) oppure (a > 1)) & (a <= - 3) ≡
≡ (a < - 3) & (a <= - 3) oppure (a > 1) & (a <= - 3) ≡
≡ (a < - 3) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ a < - 3
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Dettagli
* y = √(x^2 + 2*x - 3) ≡ ((x + 1)/2)^2 - (y/2)^2 = 1
è un'iperbole con centro C(- 1, 0) e asintoti y = ± (x + 1).
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Aggiungendole la bisettrice dei quadranti dispari si ha ancora un'iperbole, ma ruotata perché la quadratura introduce un termine rettangolare in x*y
* y = x + √(x^2 + 2*x - 3) ≡ y^2 - 2*x*y - 2*x + 3 = 0
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L'aggiunta di y = x porta il centro in C(- 1, - 1) e la rotazione porta gli asintoti in
* y = - 1
* y = 2*x + 1
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Le tangenti parallele all'asse y, non più di vertice stante la rotazione, si ricavano dal sistema
* (x = k) & (y^2 - 2*x*y - 2*x + 3 = 0)
che ha risolvente pari pari il trinomio originale
* y^2 - 2*k*y - 2*k + 3 = 0
col medesimo discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(k) = 4*(k + 3)*(k - 1) = 0 ≡
≡ (k = - 3) oppure (k = 1)
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Conclusione
* y = x + √(x^2 + 2*x - 3) < 0 per x <= - 3
* y = x + √(x^2 + 2*x - 3) = 0 per nessun valore di x
* y = x + √(x^2 + 2*x - 3) > 0 per x >= + 1

possiamo utilizzare il discriminante $D$ della formula quadratica. Il discriminante è definito come:

D=b alla seconda−4ac

$a=1$

$-2a$

$c=-2a+3$

$D=(-2a)alla\; seconda-4(1)(-2a+3)$

D=4a alla seconda+8a−12a+12

$D=$$4a\; alla\; seconda-4a+12$

a alla seconda−a+3>0 e poi trovi i valori usando la formula quadratica