Date le funzioni $f$ e $g$ i cui grafici in figura sono rispettivamente una parabola e una retta, siano $z(x)=f(g(x))$ e $w(x)=g(f(x))$. Calcola $z^{\prime}(1)$ e $w^{\prime}(2)$.
CChi mi puo spiegare come si risolve. Grazie
Date le funzioni $f$ e $g$ i cui grafici in figura sono rispettivamente una parabola e una retta, siano $z(x)=f(g(x))$ e $w(x)=g(f(x))$. Calcola $z^{\prime}(1)$ e $w^{\prime}(2)$.
CChi mi puo spiegare come si risolve. Grazie
51
punti
Livello 0
1)Prima devi evincere dal grafico la forma algebrica di f(x) e g(x).
f(x) è una parabola con vertice nell'origine, quindi facendo riferimento alla forma y=ax^2+bx+c avrai b=c=0
per calcolare "a" basta imporre il passaggio per il punto (2,4) e trovi
f(x): y=x^2
g(x) è una retta passante per i punti (0,3) e -credo... non è ben esplicitato- (1,0).
Quindi con una delle tecniche che dovrebbero averti insegnato giungi all'equazione
g(x): y=-3x+3
2)Poi trovi la forma algebrica delle due funzioni composte.
z(x)=f(g(x))=f(-3x+3)=(-3x+3)^2=9x^2+9-18x
w(x)=g(f(x))=g(x^2)=-3x^2+3
3)Poi calcoli le due derivate.
z'(x)=18x-18
w'(x)=-6x
4)Infine calcoli le derivate nei punti indicati
z'(1)=0
w'(2)=-12
927
punti
Livello 3
f = a·x^2
passa per [2, 4] : 4 = a·2^2---> a = 1
f(x) = x^2
g(x) = 3 - m·x con m>0
z(x)= fog = (3 - m·x)^2
w(x) = gof = 3 - m·x^2
Quindi:
z'(x)=2·m·(m·x - 3)
w'(x)=- 2·m·x
Ne consegue che:
z'(1)=2·m·(m·1 - 3)---> z'(1)=2·m·(m - 3)
w'(2)= -4m
con m>0
N.B. se g passasse dal punto [1,0] (cosa non messa in evidenza in figura!!): m=3 e si avrebbe:
z'(1)=0 e w'(2)= -12
100908
punti
Genius III
@lucianop io avevo scritto w'(2)=-18... Poi ho visto la tua (-8) e ho ricontrollato.
in realtà, mi sa che abbiamo sbagliato entrambi 😓 w'(2)=-12
@lucianop figurati... Come ti dicevo, avevo sbagliato anche io 😓 me ne sono accorto, perché il mio risultato non tornava con il tuo e ho ricontrollato...